Собственные колебания динамических систем

Чтобы полностью определить поведение динамической системы, описываемой уравнением (4.31), требуется учесть начальные условия, которые характеризуют внутреннее состояние системы в некоторой фиксированный момент времени. Обычно принято задавать искомую функцию и её n-1 производную при t = 0:

 .

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (4.31), удовлетворяющим любым начальным условиям, является сумма некоторого частного решения неоднородного уравнения, у которого правая часть f(t) отлична от нуля, и общего решения однородного уравнения

.                   (4.32)

Проблема решения однородного дифференциального уравнения связана с нахождением корней характеристического уравнения системы

.                                  (4.33)

Данное уравнение имеет ровно n корней. Поскольку коэффициенты уравнения вещественны, корни g1, g2, … ,gn  могут быть либо вещественными, либо комплексно- сопряженными. Если все корни различны, то общее решение однородного уравнения (4.32), которое описывает собственные колебания системы, имеет вид

                               (4.34)

где С1, С2, … , Сn - постоянные числа, определяемые из начальных условий.

Если же некоторые из корней оказываются кратными, то составляющие общего решения однородного уравнения несколько усложняются за счёт появления секулярных (вековых) множителей. Так, если gi представляет собой k-кратный корень, то ему отвечает совокупность собственных колебаний вида exp(git), texp(git), tk-1exp(git).