Спектральная плотность функции включения

Вычислим спектральную плотность функции включения s(t), которую для простоты определим во всех точках, кроме точки t = 0

Заметим, прежде всего, что функция включения получается путём предельного перехода из экспоненциального видеоимпульса

Поэтому можно попытаться получить спектральную плотность функции включения, выполнив предельный переход при a®0 в формуле спектральной плотности экспоненциального колебания:

.

Непосредственный переход к пределу, согласно которому s(t)«1/jw, справедлив при всех частотах, кроме значения w = 0, когда необходимо более тщательное рассмотрение.

Прежде всего, выделим в спектральной плотности экспоненциального сигнала вещественную и мнимую части:

.

Можно убедиться в том, что:

.

Действительно, предельное значение этой дроби при любых w ¹ 0  обращается в нуль, и в то же время

независимо от величины a, откуда и следует сделанное утверждение.

Итак, получено взаимно-однозначное соответствие функции включения её спектральной плотности:

.                                                (2.49)

Дельта-особенность при w = 0 свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2 в точке t = 0.