Спектральная плотность произведения сигналов

Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть u(t) и v(t) – два сигнала, для которых известны соответствия u(t)«U(w), v(t)«V(w). Образуем произведение этих сигналов: S(t) = u(t)v(t) и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу

.                                          (2.38)

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал v(t) через его спектральную плотность и подставим результат в (2.38)

.

Изменив порядок интегрирования, будем иметь

,

откуда окончательно получаем:

.                                    (2.39)

Интеграл, стоящий в правой части формулы (2.39), называют свёрткой функций V и U. В дальнейшем будем символически обозначать операцию свёртки как:

.

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:

.                                      (2.40)

Доказанная выше теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения S(w) = S1(w)S2(w), причём S1(w)«s1(t) и S2(w)«s2(t), то сигнал s(t)«S(w) является свёрткой сигналов s1(t) и s2(t), но уже не в частотной, а во временной области:

.                                      (2.41)