Спектральная плотность производной и неопределённого интеграла

Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность S(w) заданы. Будем изучать новый сигнал f(t) = ds/dt и поставим цель найти его спектральную плотность F(w).

По определению производной:

.                                           (2.31)

Преобразование Фурье – линейная операция, значит, равенство (2.31) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем:

.                                   (2.32)

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: , подставим этот ряд в (2.32) и, ограничиваясь первыми двумя членами, находим

F(w) = jwS(w).                                                   (2.33)

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие, модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала. Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной n-го порядка. Легко доказать, что если g(t) =    = dns/dtn, то

G(w) = (jw)nS(w).                                              (2.34)

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель jw. Поэтому принято говорить, что мнимое число jw является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Рассмотренная функция  s(t) = òf(t)dt  является первообразной (неопределённым интегралом) по отношению к функции f(t). Из (2.33) формально следует, что спектр первообразной

S(w) = F(w)/(jw).                                               (2.35)

Таким образом, множитель 1/jw служит оператором интегрирования в частотной области.