Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности

Пусть s(t) – сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной:

.

Подставим это выражение в формулу обратного преобразования Фурье (2.18):

Для того чтобы сигнал, полученный путём такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы

 и .

Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть A(w) спектральной плотности сигнала есть чётная, а мнимая часть B(w) – нечётная функция частоты (Следует напомнить, что интеграл от нечётной функции в симметричных пределах всегда равен нулю):

A(w) = A(-w),  B(w) = -B(-w).                                      (2.27)