Связь между энергетическим спектром сигнала и его АКФ

Покажем, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. В соответствии с формулой (3.14) АКФ есть скалярное произведение:        Bu(t) = (u,ut). Здесь символом ut обозначена смещённая во времени копия сигнала    u(t-t). Обратившись к обобщённой формуле Рэлея, можно записать равенство

.

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала ,    откуда . Таким образом, приходим к результату:

  .                                     (3.22)

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и АКФ связаны преобразованием Фурье:

.                                         (3.23)

Имеется и обратное соотношение:

.                                       (3.24)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам.

Во-первых, оказывается возможным оценить корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток АКФ и тем совершеннее сигнал, с точки зрения возможности точного измерения момента его начала.

Во-вторых, формулы (3.22) и (3.24) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Пример 3.2. Найти АКФ сигнала с равномерным и ограниченным по частоте энергетическим спектром.

Пусть сигнал u(t) имеет энергетический спектр вида

,

где wв – верхняя граничная частота спектра. По формуле (3.22) находим его АКФ

.                            (3.25)

Таким образом, данный сигнал имеет АКФ лепесткового вида (рис. 3.5) .Часто вводят удобный числовой параметр – интервал корреляции tk, представляющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ. Легко видеть, что в рассматриваемом случае величина tk связана с параметром wв  соотношением wвtk = p. Отсюда следует, что интервал корреляции

                                                (3.26)

оказывается тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала.