3.7.1.    Сущность эффекта Гиббса

Функции во временном окне селекции ПN(n) в частотном пространстве соответствует спектральная функция, которая в определенной степени должна отличаться от функции . Очевидно, что при усечении оператора h(n), а значит и ряда Фурье (3.62), до конечного числа членов N мы будем иметь усеченный ряд Фурье:

,                                    (3.63)

при этом сходимость суммы остающихся членов ряда  к исходной передаточной функции  ухудшается, и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначальной в тем большей степени, чем меньше значение N.

Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) в передаточных функциях:

· крутизна перепадов «размывается», так как она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (3.63);

· по обе стороны «размытых» перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (3.62).

Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название эффекта Гиббса. Рассмотрим явление Гиббса более подробно на примере разложения в ряд Фурье частотной функции единичного скачка G(w), которая является Фурье-образом какой-то дискретной временной функции b(n). Уравнение функции единичного скачка в частотной области имеет вид:

                                         (3.64)

Функция (3.64) имеет разрыв величиной 1 в точке w = 0 и, в силу дискретности временной функции и периодичности ее спектра, в точках p, 2p и т.д. Поскольку функция G(w) является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда (рис. 3.29) определяются из  выражения:

.

Подпись:  

Рис. 3.29. Значения коэффициентов

Как видно из рис. 3.29, ряд коэффициентов bn затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции G(w):

;

.                                             (3.65)

Если мы будем ограничивать количество коэффициентов bn, т.е. ограничивать значение N ряда Фурье функции G(), то суммирование в выражении (3.65) будет осуществляться не до ∞, а до значения N. Графики частичных сумм ряда (3.65) в сопоставлении с исходной функцией (рис. 3.30) наглядно показывают сущность явления Гиббса.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функции, разложенной в ряд Фурье, существует всегда. Но при малой доле энергии  отсекаемой части сигнала этот эффект может быть и малозаметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.