Свободный электрон, движущийся в трехмерной системе (3D), имеет кинетическую энергию (
), величина которой, в соответствии с пространственными компонентами его импульса px, py, pz, составляет:
,
или, в волновом представлении,
|
|
(1.1) |
где m – эффективная масса электрона (в твердых телах она обычно меньше, чем масса покоя электрона m0); ℏ – приведенная постоянная Планка (ℏ = h/2π); kx, ky, kz – пространственные компоненты волнового вектора.
Рис. 1.1. Потенциальная яма и волновые функции электронов в ней
Плотность электронных состояний при этом является непрерывной функцией энергии:
|
|
(1.2) |
.B низкоразмерной структуре свободное движение электрона ограничено, по крайней мере, в одном направлении. B данном направлении (пусть это будет направление вдоль оси х) потенциальная энергия электрона может быть представлена в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы (рис. 1.1).
Если ширина ямы вдоль оси x равна а, то в области 0 < х < а электрон имеет нулевую потенциальную энергию. Бесконечно высокий потенциальный барьер делает невозможным нахождение электрона за границами этой области.
Таким образом, волновая функция электрона должна обращаться в нуль на границах потенциальной ямы, т. е. при х = 0 и х = а. Такому условию отвечает лишь ограниченный набор волновых функций. Это – стоячие волны с длиной λ, определяемой соотношением:
|
|
(1.3) |
.Соответствующие разрешенные значения волнового вектора дискретны и равны:
|
|
(1.4) |
Как следствие, энергии разрешенных энергетических состояний электрона в яме тоже оказываются дискретными. Спектр этих состояний имеет вид:
|
|
(1.5) |
.Целое число n является квантовым числом, обозначающим квантовое состояние. Таким образом, электрон, помещенный в ограниченную область пространства, может занимать только дискретные энергетические уровни. Самое низкое состояние имеет энергию:
|
|
(1.6) |
,которая всегда больше нуля.
Ненулевая минимальная энергия отличает квантово-механическую систему от классической, для которой энергия частицы, находящейся на дне потенциальной ямы, тождественно равна нулю. Кроме того, разрешенные значения энергии для электрона оказываются квантованными и пропорциональны n2.
Для того чтобы удовлетворить принципу неопределенности ΔpΔx ≥ ℏ/2 (в нашем случае Δx = a), неопределенность импульса электрона должна быть Δp ≥ ℏ/2a, что отвечает минимальному изменению энергии
,
которое (сточностью до множителя π2/4) соответствует приведенному выше выражению (1.6) для E1. Таким образом, принцип неопределенности также приводит нас к вывод
