По аналогии с обычной свёрткой двух сигналов
вводят дискретную свёртку-сигнал, отсчёты которого связаны с отсчётами дискретных сигналов xд(t) и yд(t) соотношением:
, m = 0, 1, 2,…, N – 1 (1.20)
Найдём связь между коэффициентами дискретной свёртки и ДПФ сигналов xд(t), yд(t). Для этого выразим текущее значение отсчетов xk и ym-k как ОДПФ от соответствующих спектров:
;
.
а затем подставим эти значения в формулу (1.20):
.
Изменив порядок суммирования, получим,
. (1.21)
Нетрудно заметить, что внутренняя сумма может быть вычислена на основании свойства ортогональности элементов базиса Фурье. Воспользовавшись этим, получим:
(1.22)
Описанный здесь алгоритм свёртки периодических сигналов иногда называют круговой или циклической свёрткой.
Поскольку формула (1.22) есть ОДПФ, приходим к выводу, что коэффициенты преобразования Фурье свёртки являются произведением коэффициентов ДПФ свёртываемых сигналов:
. (1.23).
Этот результат имеет большое значение в теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. Оказывается, что если сигналы достаточно длинны (например, содержат несколько тысяч отсчётов), то для вычисления свёртки целесообразно вначале найти их ДПФ, перемножить коэффициенты, а затем воспользоваться формулой (1.22), применив алгоритм БПФ. Такой способ вычислений часто более экономичен, чем прямое использование формулы (1.20).
