Ранее была выведена фундаментальная характеристика системы двух вещественных сигналов u(t) и v(t) – их скалярное произведение
, (3.1)
пропорциональное взаимной энергии этих сигналов. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии сигнала
. (3.2)
Скалярное произведение сигналов u(t) и v(t) можно выразить через их спектральные плотности U(w) и V(w) с помощью обобщенной формулы Рэлея:
В равной мере справедливо равенство:
,
поскольку скалярное произведение вещественных сигналов является вещественным числом.
Назовем взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u(t) и v(t) функцию
, (3.3)
такую, что
, (3.4)
причем
. (3.5)
Представив спектральные плотности сигналов u(t) и v(t) в виде суммы вещественных и мнимых частей:
,
убеждаемся, что взаимный энергетический спектр Wuv функция, принимающая, в общем случае, комплексные значения:
(3.6)
Нетрудно заметить, что ReWuv — четная, а ImWuv – нечетная функция частоты. Вклад в интеграл (3.4) дает только вещественная часть, поэтому
. (3.7)
Формула (3.7) дает возможность проанализировать “тонкую структуру” взаимосвязи сигналов. Наибольший вклад во взаимную энергию дают те частотные области, в которых имеется “перекрытие” спектров сигналов.
Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде (3.7), указывает на принципиальный путь, позволяющий уменьшить степень связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физической системе, называемой частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование: не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость коэффициента передачи такого ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот (рис. 3.1).
Изложенный подход к вычислению скалярного произведения, основанный на понятии взаимного энергетического спектра, имеет прямое отношение к результатам, которые были получены в разделе 1 при вычислении скалярного произведения сигналов, разложенных по элементам ортогонального базиса. Разница состоит в том, что здесь используются не дискретное, а непрерывное Фурье-представление.