При коротком замыкании в сети через токоведущую часть аппарата могут протекать токи, в десятки раз превышающие номинальный. При взаимодействии этих токов с магнитным полем других токоведущих частей ЭА создаются электродинамические усилия (ЭДУ). Эти усилия стремятся деформировать как проводники токоведущих частей, так и изоляторы, на которых они крепятся. При номинальных токах эти усилия  малы и ими можно пренебречь.

Электродинамической стойкостью аппарата называется  его способность противостоять ЭДУ, возникшим при прохождении токов к.з. Эта величина может выражаться либо непосредственно амплитудным значением тока i_дин, при котором механические напряжения в деталях аппарата не выходят за пределы допустимых значений, либо кратностью этого тока относительно амплитуды номинального тока . Иногда электродинамическая стойкость оценивается действующими значениями тока за один период (Т = 0,02 с, f = 50 Гц)  после начала КЗ.

Для расчета ЭДУ используются два метода. В первом методе  ЭДУ определяется как результат взаимодействия проводника с током и магнитного поля по правилуАмпера.

На элементарный проводник длиной  dl, м,  с током i, А, находящийся в магнитном поле с индукцией В, Тл, созданной другим проводником  (рис. 1.6, а),  действует   усилие

DP = idlW ;  dP = iBdlsinb,

где b – угол между векторами элемента dl и индукции B, измеряемый по кратчайшему расстоянию между ними.

Рис. 1.6. Направление ЭДУ, действующего на элемент с током

За направление dl принимается направление тока в элементе. Направление индукции В, создаваемой другим проводником, определяется по правилу буравчика, а направление усилия – по правилу левой руки.

Для определения полного электродинамического усилия, действующего на проводник длиной  l, необходимо просуммировать усилия, действующие на все его элементы

.                                                (1.16)

В случае произвольного расположения проводников в одной плоскости при          b = 90° формула (1.16) упрощается:

.

Описанный метод рекомендуется применять тогда, ког­да индукцию в любой точке проводника можно найти ана­литически, используя закон Био-Савара-Лапласа.

Второй метод основан на использовании энергетическо­го баланса системы проводников с током. Если пре­небречь электростатической энергией системы и принять, что при деформации токоведущих контуров или их перемещении под действием ЭДУ токи в них неизменны, то уси­лие можно найти по уравнению

Р = дW/дх,

где W – электромагнитная энергия; x – возможное пере­мещение в направлении действия усилия.

Таким образом, усилие определяется частной производ­ной от электромагнитной энергии данной системы по ко­ординате, в направлении которой оно действует. Эта фор­мула получила название энергетической.

Электромагнитная энергия системы обусловлена как энергией магнитного поля каждого изолированного конту­ра, так и энергией, определяемой магнитной связью меж­ду контурами, и для двух взаимосвязанных контуров

W = (1/2)L₁i₁² + (1/2)L₂i₂² + Mi₁i₂ ,

где L₁, L₂ – индуктивности изолированных контуров; i₁, i₂ — токи, протекающие в них;  М — взаимная индуктив­ность.

Первые два члена уравнения определяют энергию не­зависимых контуров, а третий член определяет энергию, обусловленную их магнитной связью.

Данное уравнение позволяет рассчитать как усилия, дей­ствующие в изолированном контуре, так и усилие взаимо­действия одного контура с другими.

Усилие внутри одного независимого контура

P = W/ x= (1/2) i²L /x.

При расчете усилия взаимодействия контуров считаем, что энергия изменяется только в результате изменения взаимного расположения контуров. Энергия, обусловлен­ная их собственной индуктивностью, считается неизменной. При расчете можно считать, что токи в контурах не зави­сят от их деформаций или их перемещения под действием усилий. В данном случае усилие взаимодействия между двумя контурами

Р = дWlдx= i₁ i₂дM/дx.

Энергетический метод удобен, когда известна аналити­ческая зависимость индуктивности или взаимной индуктив­ности от геометрических размеров.

Найдём направление ЭДУ, действующего на элемент dl₁ с током i₁ (см. рис. 1.6, б).

Линия индукции  В₂, создаваемой током  i₂, является окруж­ностью с радиусом r, лежащей в плоскости, перпендикулярной l₂. Направление усилия dP₁ определяется по пра­вилу левой руки и показано на рис. 1.6, б.

Для плоской задачи, когда все проводники лежат в одной плоскости, результирующая суммарная индукция, действующая на проводник, всегда

перпендикулярна этой плоскости. В этой же плоскости действует и усилие.

При определении направления усилия учитывается индукция, создаваемая всеми остальными проводниками, за исключением того проводника, для которого оно находит­ся. Рассмотрим направление усилия, действующего между параллельными проводниками (рис. 1.7, а). Проводник  l с током  I₁ создает в месте расположения провод-ника 2 ин­дукцию B₁. По правилу левой руки (рис. 1.7, б) определя­ем направление усилия P₁₂.

При этом не следует рассмат­ривать взаимодействие тока i₂ с полем, создаваемым про­водником 2.

Если ЭДУ определяется методом энергетического ба­ланса, направление усилия находят из следующих сообра­жений. Согласно Р = дW/дх положительному направлению уси­лия соответствует возрастание энергии системы дW/дx>0.

Таким образом,   усилие, действующее на токоведущие час­ти, направлено так, чтобы электромагнитная энергия си­стемы возрастала.

ЭДУ в витке

В ряде случаев токоведущая цепь аппарата выполняется в виде круговых витков или катушек (дугогасительные катушки контак­тов, автоматов, трансформаторы тока, реакторы).

При протекании токов короткого замыкания  ЭДУ возникают как в самих витках и катушках, так и между витками и катушками соседних фаз.

Оценим величину силы в круговом витке. Ин­дуктивность такого витка (при условии, что) выражается формулой

.

Поскольку известна аналитическая зависимость индуктивности от размеров витка, при определении ЭДУ целесообразно восполь­зоваться энергетическим методом. ЭДУ направлены по радиусу

.

Подставив в полученное уравнение выражение для индуктивности L и продифференцировав его, получим:

.

Сила приложена к окружности длиной . При расчете электродинамической устойчивости необходимо знать силу , разрывающую виток. Для определения рас­смотрим уравнение рав­новесия полувитка (рис. 1.8). Это усилие определится как

,

где – сила, действующая на единицу   длины, равная .

После интегрирования получим, что

.

Механические напряжения растяжения, возникающие в се­чении витка от этой силы, не должны превышать допустимых значений.

В том случае, когда обмотка имеет v витков, то индуктивность, следовательно, и сила возрастут пропорционально квадрату числа витков:

,

где – радиус сечения обмотки, состоящей из v витков.

Если круговой виток, обтекаемый током, находится в магнит­ном поле, создаваемом другими проводниками, то кроме внутрен­них сил, возникает дополнительная сила в результате взаимодей­ствия витка с внешним полем.

ЭДУ между витками

Рассмотрим силу взаимодействия двух круговых витков (рис. 1.9). Если расстояние между витками , соизмеримое с диаметрами и , мало отличается от , то взаимоиндуктивность может быть выражена формулой

,

где .

Вертикальную составляющую силы взаимодействия между витками определим, воспользовавшись энергетической формулой, поскольку известна зависимость ,

или  .

Знак «минус» говорит о том, что с ростом расстояния взаимоин­дуктивность уменьшается. Сила взаимодействия зависит от  и достигает максимума при   с = 0, тогда   ,  т. е. витки взаимодействуют так же, как два параллельных про­водника длиной на расстоянии и между собой.

Направление силы можно определить следующим образом: если потоки, создаваемые витками, направлены в одну сторону, то витки будут притягиваться (максимальное значение потокосцепления возникает при совпадении контуров). Если потоки контуров направлены в разные стороны, то витки будут отталкиваться (мак­симальное потокосцепление системы возникает при бесконечном удалении контуров друг от друга).

Следует отметить, что, кроме силы , на витки действует еще и радиальная сила от собственного тока и от взаимодействия этого тока с продольной составляющей поля, создаваемого другим вит­ком. Поскольку зависимость

известна, то для оп­ределения второй силы целесообразно воспользоваться энергети­ческими формулами

; .

ЭДУ между катушками

Для расчета сил, действующих между цилиндрическими ка­тушками, удобно пользоваться энергетической формулой  .

Производную определяем с помощью семейства кривых Двайта, представленных на рис. 1.10. Эти кривые справедливы для катушек, у которых

>0,5, .

Для плоских катушек, у которых <0,5, величину можно найти по кривым Хака.

ЭДУ при переменном токе

При расчете контакторов, автоматов защиты и ряда других электрических аппаратов необходимо учитывать большие ЭДУ, действующие в их токоведущих частях при режиме КЗ.

Однофазная цепь. Пусть ток в проводнике и токоведущих частях не имеет апери-одической составляющей и из­меняется по закону

i = I_m sin wt, где I_m — амплитудное значение  тока; w —  угловая частота.

При одинаковом направлении тока проводники притягиваются с усилием

P = 10 ^–7kI_m²sin² wt = (1- cos wt),

где Р_m — максимальное значение усилия, равное 10 ^-7 kI_m².

Таким образом, усилие имеет постоянную составляю­щую Р_m /2 и переменную составляющую двойной частоты (P_m/2)cos2wt.

Среднее значение усилия за период

где   I — действующее значение тока; c = 10 ^–7 k.

Таким  образом, среднее значение ЭДУ пропорцио­нально квадрату действующего значения тока. Изменение усилия во времени при переменном токе в однофазной це­пи (рис. 1.11) происходит без изменения своего знака.

Иногда включение аппарата происходит при наличии КЗ в цепи нагрузки. Обычно в сетях высокого напряжения активное сопротивление R цепи и ее индуктивность L свя­заны соотношением wL>>R. Если включение происходит в момент времени, когда принужденная составляющая тока i_пр = 0, то свободной составляющей в цепи не возникает и апериодическая составляющая отсутствует. Если включение происходит в любой другой момент времени, то возникает свободная апериоди­ческая составляющая, которая в момент t = 0 равна и обратно по знаку принужденной составляющей. Причина возникновения апериодической составляющей — наличие в цепи индуктивности L. Поскольку энергия в ин­дуктивности Li²/2 не может меняться скачком, ток в цепи всегда нарастает с нулевого значения. Если при t = 0 ток i_oпр ¹ 0, то возникает свободный ток i_св = —i_0пр.

Свободная  составляющая спадает во времени по закону i_св=i_св0 , где T_a = L /R—постоянная времени апериодической состав­ляющей тока цепи.

Наибольшая апериодическая составляющая появляется при условии  t

= 0; . Если при t = 0 , то результирующий ток в цепи изменяется по закону . Через время  ток в цепи достигает наибольшего значения, которое называется ударным

.

Ударный коэффициент k_уд зависит от постоянной времени Т_а. Чем больше индуктивность L и меньше активное сопротивление R, тем больше k_уд. Параметры тока к.з. – его значение, угол сдвига фаз между током и напряжением, постоянная времени  зависят от свойств контура КЗ, включающего в себя энергетическую установку (генератор, трансформатор), линии электропередачи, кабели и т.п.

Апериодическая составляющая имеет существенное значение только в цепях с wL>>R.

В этом случае принужденная составляющая тока i_пр отстает от напряжения на 90⁰. Таким образом, наибольшее значение апериодической составляющей соответствует включению цепи при прохождении напряжения через нулевое значение.

При наличии апериодической составляющей тока усилие изменяется во времени по закону (рис. 1.12)

.

Наибольшего значения усилие достигает через полпериода после начала короткого замыкания.

При k_уд = 1,8 будет иметь значение

.

Трехфазная система при наличии апериодической со­ставляющей тока. В однофазной системе теоретически воз­можен случай КЗ, при котором апериодическая составляю­щая тока будет равна нулю. В трехфазной системе апериодическая составляющая тока появляется при одно­временном замыкании всех трех фаз, так как ни в какой момент времени все три тока не могут быть равны нулю. Наличие этой составляющей в токе к.з. влияет на ЭДУ.

Максимальное значение возникающих в этом случае ЭДУ зависит как от момента включения относительно амп­литуды периодической составляющей тока, так и от време­ни. Решение этой задачи довольно сложно. Поэтому расчет ЭДУ с учетом апериодической составляющей целесообраз­но проводить по упрощенной методике, обеспечивающей погрешность и сторону запаса. Эта методика полагает, что во всех трех фазах апериодическая составляющая одина­кова, равна амплитуде периодической и не меняется во времени. Тогда максимальное отталкивающее усилие, дей­ствующее на провод фазы 1

P_1ОТmax=0,805c(k_уд I_m)².

Максимальное усилие, действующее на провод средней фазы

P_2max= 0, 87c(k_уд I_m)².