1.4.       Теория z-преобразования

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемые z-преобразования, играющие по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам.

Определение z-преобразования

Пусть  – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:

.                                  (1.46)

Назовём эту сумму, если она существует, z-преобразованием последовательности . Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их z-преобразования обычными методами математического анализа.   В математике z-преобразование называют также производящей функцией исходной последовательности.

На основании формулы (1.46) можно непосредственно найти z-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчётов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом  соответствует . Если же, например, , то

.

Сходимость ряда

Если в ряде (1.46) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию

                                                       (1.47)

при любых . Здесь  и  – постоянные вещественные числа.

Тогда ряд (1.46) сходится при всех значениях z, таких, что . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.

Рассмотрим, например, дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд

является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце . Суммируя прогрессию, получим:

.

На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс. Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а – некоторое вещественное число. Здесь:

.

Данное выражение имеет смысл в некоторой кольцевой области .

Z-преобразование непрерывных функций

Полагая, что отсчёты  есть значения непрерывной функции  в точках , любому сигналу  можно сопоставить его z-преобразование при выбранном шаге дискретизации:

.                                                 (1.48)

Например, если , то соответствующее z-преобразование

является аналитической функцией при .

Обратное z-преобразование

Пусть p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> – функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области . Замечательное свойство z-преобразования состоит в том, что функция   определяет всю бесконечную совокупность отсчётов . Действительно, умножим обе части ряда (1.46) на множитель :

                               (1.49)

Затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы :

.                        (1.50)

Обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, против часовой стрелки.

Для решения уравнения (1.50) воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:

.

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части выражения (1.50) обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому

.                                               (1.51)

Формула (1.51) называется обратным z-преобразованием.

Пример

Задано z-преобразование вида . Найти коэффициенты дискретного сигнала , отвечающего этой функции.

Прежде всего, определим, что функция  аналитична во всей плоскости, за исключением точки , поэтому она действительно может быть z-преобразованием некоторого дискретного сигнала.

Перед тем, как решать данную задачу, вспомним из курса высшей математики методику решения криволинейных интегралов с использованием теории вычетов и теоремы Коши о вычетах. Пусть точка  есть изолированная особая точка функции . Вычетом функции  в точке  называется число, обозначаемое символом  и определяемое равенством:

В качестве контура g можно взять окружность с центром в точке  достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции

 и не содержала внутри других особых точек функции . Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении  в окрестности точки : . Вычет в устранимой особой точке равен нулю.

Если точка  есть полюс n-го порядка функции , то

.

В случае простого полюса ()

.

Если функция  в окрестности точки  представима как частное двух аналитических функций

,

причем , т.е.  есть простой полюс функции , то

.

Обращаясь к формуле (1.48), находим, что

при любых idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif>. Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид:

.

Связь с преобразованием Лапласа и Фурье

Определим при  сигнал вида идеальной МИП:

Преобразовав его по Лапласу, получим изображение

                                            (1.52)

которое непосредственно переходит в z-преобразование, если выполнить подстановку . Если же положить , то выражение

                                            (1.53)

будет преобразованием Фурье импульсной последовательности.

Важнейшие свойства Z-преобразования

1. Линейность. Если  и  – некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие z-преобразования  и , то сигналу  будет отвечать преобразование  при любых постоянных a и b. Доказать данное свойство можно путём подстановки суммы в формулу (1.46).

2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала  путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя z-преобразование, получаем следующий результат:

.                               (1.54)

Таким образом, символ z-1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в z-области.

3. Z-преобразование свёртки. Пусть  и  – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка

.                               (1.55)

Применительно к дискретным сигналам по аналогии со свёрткой (1.55) принято вводить дискретную свёртку  – последовательность чисел, общий член которой равен:

                           (1.56)

Подобную дискретную свёртку в отличие от круговой иногда называют линейной свёрткой.

Вычислим z-преобразование дискретной свёртки:

  (1.57)

Свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение их z-преобразований.