5.1. Дискретизация и квантование

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) – это преобразование фор­мы или спектров сигналов с помощью компьютера. Для ввода и выво­да информации в ЭВМ используются аналогово-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. Типовая структурная схема цифровой обработки сигналов приведена на рис. 5.1, где (t) и y(t) – входной и выходной аналоговые сигналы.

В аналого-цифровом преобразователе (АЦП) непрерывный сигнал преобразуется в последовательность слов на шине данных Д1. Цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) осуществляет обратное преобразование цифровых данных на шине Д2 в аналоговый сигнал.

В настоящее время цифровую обработку сигналов широко используют в телефонной связи и в относительно низкочастотной усилительной и приемопередающей технике. При использовании ЦОС улучшается качество систем обработки информации, увеличивается стабильность параметров устройств, а в области низких частот дости­гается существенное уменьшение массы и габаритов блоков и узлов.

Для осуществления ЦОС вначале проводится дискретизация аналогового сигнала s(t), то есть взятие отсчетов в заданные моменты времени (рис. 5.2). Необходимость дискретизации сигнала обусловливается дискретным характером работы ЭВМ: компьютер изменяет свое состояние, воспринимает и передает данные только через определенные моменты времени. Как правило, используется равномерная дискретизация, то есть взятие отсчетов через одинаковый промежуток времени, называемый периодом дискретизации.

В этом случае дис­кретный сигнал удобно записывать в виде последовательности:

s(kt_Д),

где k =…, -1, 0, 1, 2, …,

или в виде

s(k),

понимая дискретный сигнал как конечное или бесконечное множество отсчетов

…, s(-t_Д), s(0), s(t_Д), s(2t_Д), …

На практике чаще используются конечные по дли­тельности сигналы и конечные объемы выборки

N = 2ⁿ,

где n = 9, 10, 11, … .

Дискретизацию можно осуществить с помощью простой схемы, содержащей электронный ключ (рис. 5.3). Ключ через равные проме­жутки времени (t_Д) на короткое время замыкается, и на нагрузке возни­кает импульс, амплитуда которого соответствует значению сигнала в заданный момент времени. Очевидно, что в промежутках между отсчетами информация, содержащаяся в аналоговом сигнале, будет по­теряна. Возникает так называемая погрешность дискретизации.

Оценим эту погрешность. Предположим, что длительность выходных импульсов в схеме (рис. 5.3) столь мала, что для их математического описания можно ис­пользовать дельта-функции:

.               (5.1)

Являясь аналоговым, этот импульсный сигнал служит однозначной моделью дискретного сигнала, так как содержит отсчеты входного сигнала. Импульсный сигнал (5.1) можно представить в виде произве­дения исходного сигнала s(t) и последовательности дельта-импульсов D(t), а именно:

s_И(t) = s(t) D(t),

где

.                                                 (5.2)

Последовательность D(t) в формуле (5.2) является периодической с периодом t_Д, и поэтому она может быть разложена в ряд Фурье

,                                               (5.3)

где w_Д = 2p/t_Д – частота дискретизации.

Используя свойства дельта-функции, получим коэффициенты (С_n) ряда (5.3) в виде:

.                                     (5.4)

Используя формулу (5.4), импульсный сигнал s_И(t) можно записать:

.                                        (5.5)

Применяя к обеим частям выражения (5.5) преобразование  Фурье, получим комплексную спектральную плотность импульсного сигнала:

,                                       (5.6)

где S(jw) – комплексная спектральная плотность исходного аналого­вого сигнала.

Из полученного соотношения (
5.6) следует, что спектр дискретизированного сигнала без учета коэффициента 1/t_Д получается суммированием бесконечного числа «копий» спектра исходного ана­логового сигнала. Эти «копии» спектра располагаются по оси частот через значения 2p/t_Д, равные частоте дискретизации w_Д =2pf_Д.

На рис. 5.4 представлены некоторые идеализированные амплитуд­ные спектры исходного аналогового сигнала и импульсного сигнала для двух частот дискретизации. Предполагается, что в спектре исход­ного сигнала определена верхняя граничная частота w_В.

Дискретиза­ция в первом случае (рис. 5.4, б) проведена с достаточно высокой частотой w_Д > 2w_В, и поэтому исходный аналоговый сигнал в принципе мож­но восстано

вить из импульсного (дискретизированного) сигнала, ис­пользуя идеальный фильтр низких частот с граничной частотой рав­ной или несколько превышающей частоту w_В.

Во втором случае (рис. 5.4, в) частота дискретизации выбрана меньше: w_Д < 2w_В. Как видим, спек­тры соседних компонент здесь перекрываются, возникает эффект «наложения спектров», и восстановление исходного сигнала с помощью фильтра невозможно.

На примере идеального фильтра низких частот при использовании обратного преобразование Фурье можно определить импульсную характеристику такого фильтра. И далее, используя интеграл Дюамеля и стробирующие свойства дельта-функции, можно найти сигнал на выходе фильтра с отсутствующим эффектом наложения спектров:

.           (5.7)

Полученный сигнал идентичен исходному аналоговому сигналу: y(t) = s(t).

Формула (5.7) выражает теорему Котельникова:

произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше f_В, может быть полностью восстановлен по отсчетам, взятым через равные промежутки времени длительностью не более 1/(2f_В).

Отметим, что все реальные сигналы имеют бесконечно широкий спектр, так как длятся конечное время. Следовательно, при дискретизации этих сигналов всегда возникает некоторая погрешность, обусловленная эффектом наложения частот. Спектральные компоненты дискретного сигнала будут искажены, причем погрешность, как правило, будет возрастать с ростом частоты гармоники в спектре сигнала. На практике верхнюю частоту (w_В) в спектре сигнала удобно определять по уровню шума, всегда имеющемуся в сигнале. В этом случае погрешность, обусловленная эффектом наложения частот, будет замаскирована шумами.

Как известно, в компьютере все данные представляются с конечным числом знаков после запятой. Это объясняется конечной разрядностью регистров и шины данных. Поэтому для введения информации в ЭВМ, кроме дискретизации, необходимо провести  квантование сигнала – округление значений сигнала с заданной точностью (рис. 5.5). Квантование сигнала осуществляется в АЦП.

На рисунке 5.5 жирными точками показан цифровой сигнал s_Ц(kt_Д) – сигнал, полученный в результате дискретизации и квантования. Сплошной линией показан исходный аналоговый сигнал. Штриховыми линиями нарисованы уровни квантования. Расстояние между этими уровнями называют шагом квантования (D).

Из анализа кривых (рис. 5.5) следует, что при квантовании возникает погрешность квантования:

e(kt_Д) = s(kt_Д)  – s_Ц(kt_Д).

Эту погрешность для совокупности произвольных входных сигналов можно считать дискретной случайной величиной.

График погрешности квантования, соответст­вующий процессу квантования, приведенному на рис. 5.5, имеет вид (рис. 5.6). Перепишем формулу для погрешности квантования следующим образом:

s_Ц(kt_Д) = s(kt_Д) – e(kt_Д).

Из этого выражения следует, что сигнал e(kt_Д) можно рассматривать как некоторый дополнительный шумовой сигнал – шум квантования. Этот шум добавляется к дискретному сигналу в процессе квантования.

Из анализа процесса квантования (рис. 5.6) следует, что для слож­ных информационных сигналов шум e(kt_Д) можно рассматривать как случайную ве
личину, значения которой равномерно распределены в диапазоне от —D/2 до +D/2. Плотность распределения вероятности случайной величины e(kt_Д) приведена на рис. 5.7.

Математическое ожидание для шума квантования, очевидно, будет равно нулю, а дисперсия:

.

Зная дисперсию, найдем среднеквадратичное значение шума кван­тования:

,

которое соответствует некоторому дейст­вующему, среднеквадратичному значению гармонического напряже­ния. Среднеквадратичное значение шума квантования определяется шагом квантования. Для обработки сигналов с высокой точностью необходимо использовать АЦП с малым шагом (D) и соответственно с малым шумом квантования.