В системы цифровой обработки изображений обычно поступают массивы чисел, полученные путем дискретизации реального изображения по пространственным переменным. После обработки образуются новые числовые массивы, используемые для
восстановления непрерывного изображения, которое и рассматривает человек. Отсчеты изображения получаются в результате измерения некоторых физических характеристик реального изображения, как, например, яркости или оптической плотности.
Любое измерительное устройство работает с какой-то погрешностью. Чтобы оценить достоверность измеренных значений и создать методы компенсации ошибок, важно иметь математическую модель ошибок измерения. Кроме того, часто не удается непосредственно измерить характеристики исходного изображения и вместо них измеряются некоторые величины, относящиеся к другому изображению, которое является функцией исходного. Для определения характеристик исходного изображения эту функцию приходится «обращать». Мы рассмотрим процессы дискретизации и восстановления непрерывных изображений применительно к идеальным и реальным системам.
При разработке и анализе систем дискретизации и восстановления непрерывных изображений обрабатываемые изображения обычно принято рассматривать как детерминированные поля. Однако в некоторых случаях удобнее предполагать, что входной сигнал системы обработки изображений (особенно шумового происхождения) является реализацией двумерного случайного процесса. При анализе методов дискретизации и восстановления непрерывных изображений используются оба этих подхода.
Пусть функция 
описывает исходное непрерывное изображение бесконечных размеров, представляя распределение яркости, оптической плотности или какого-либо другого параметра реального изображения. В идеальной системе дискретизации изображений пространственные отсчеты исходного изображения получаются фактически путем перемножения этой функции с пространственно-дискретизирующей функцией:
,
(4.67)
состоящей из бесконечного числа дельта-функций, заданных в узлах решетки с шагом 
(рис. 4.4).
Тогда дискретизированное изображение описывается соотношением:
, (4.68)
в котором учитывается, что функцию 
можно внести под знак суммирования и задать ее значения только в точках отсчета 
.
Для анализа процесса дискретизации удобно использовать спектр 
получаемый в результате непрерывного двумерного преобразования Фурье дискретизированного изображения:
. (4.69)
Согласно теореме о спектре свертки спектр дискретизированного изображения можно представить в виде свертки спектра исходного изображения 
и спектра дискретизирующей функции 
, т.е.
. (4.70)
Двумерное преобразование Фурье дискретизирующей функции дает в результате бесконечный набор дельта-функций в плоскости пространственных частот с шагом 
и 
, т.е.
. (4.71)
Будем предполагать, что спектр исходного изображения ограничен по ширине так, что 
при 
и 
. Вычисляя свертку согласно р
