В результате двумерного преобразования Фурье функции 
, описывающей изображение, получается спектр этого изображения, который определяется следующим образом:
, (4.40)
где 
– пространственные частоты; 
.
Если обозначить оператор преобразования Фурье через 
, то можно записать:
. (4.41)
В общем случае спектр 
есть комплексная величина. Его можно разложить на действительную и мнимую части:
(4.42)
или представить с помощью амплитуды и фазы:
, (4.43)
где
(4.44)
Достаточным условием существования Фурье-спектра функции 
является абсолютная интегрируемость этой функции, т.е. условие:
. (4.45)
Исходная функция может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:
. (4.46)
Это соотношение в операторной форме можно записать следующим образом:
. (4.47)
Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится
, (4.48)
а затем
. (4.49)
Рассмотрим несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье.
Функциональные свойства
1) Если функция 
разделима по пространственным переменным, так что
, (4.50)
то
, (4.51)
где 
– одномерные Фурье-спектры функций 
.
2) Если 
есть Фурье-спектр функции , то 
является Фурье-спектром функции 
(звездочка обозначает комплексную сопряженность).
3) Если функция симметрична, т.е. 
, то
.
Линейность
Оператор преобразования Фурье линеен:
, (4.52)
где a, b – постоянные.
Изменение масштаба
Изменение масштаба пространственных переменных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра:
. (4.53)
Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости 
приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.
Сдвиг
Сдви
