Обнаружение и выделение контуров (границ) на изображении, т. е. точек с резкими перепадами яркости, обычно осуществляются дифференцированием функции по пространственным координатам и сравнением результата дифференцирования с порогом. Первые производные по пространственным координатам х и у определяются следующим образом:
. (4.36)
Производная по направлению z, составляющему угол с горизонтальной осью, по определению равна:
. (4.37)
Модуль градиента равен:
(4.38)
Вторые производные по пространственным координатам х и у по определению равны:
. (4.39)
Сумма производных выражения (4.39) дает лапласиан:
.
Следует отметить, что лапласиан является скалярной величиной, которая не зависит от направления на плоскости x, y, тогда как градиент есть зависящая от направления векторная величина.