2.4.3.   Некоторые вопросы разделения канальных сигналов

Условия разделимости канальных сигналов могут быть сформулированы на основании геометрической или аналитической теорий раз­личения сигналов, дающих принципиально одинаковые результаты. Воспользуемся выводами аналитической теории, согласно которой необходимым и достаточным условием разделимости сигналов skj(t) является условие их линейной независимости. Это условие состоит в том, что  равенство

возможно в том, и только в том, случае, когда все коэффициенты ai одновременно равны нулю. Линейно независимой будет такая система канальных сигналов ski(t), при которой ни один из канальных сигна­лов не может быть получен линейной комбинацией остальных.

Если равенство (2-91) удовлетворяется при отличных от нуля коэффици­ентах  ai, то  канальные  сигналы  ski(t)  будут линейно зависимыми.

Если функции ski(t)  определены на интервале 0 £ t £ Т, условие их линейной независимости дается теоремой Грама, согласно которой для того, чтобы функции sk1(t), sk2(t)… были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы был отличен от нуля определитель матрицы:

элементы которой определяются из соотношения:

Определитель указанной матрицы называется определителем Грама. Частным случаем линейной независимости функций является их ортогональность. Условие ортогональности функций записывается следующим образом:

где p(t) – некоторая фиксированная неотрицательная функция, не зависящая от i и j и равная в большинстве случаев 1;  – постоянная величина, пропорциональная средней мощности канального сигнала с индексом j.

Ортогональность функций ski(t)  является достаточным, но не необходимым условием их разделения.

Таким образом, в качестве канальных сигналов, используемых в многоканальной системе передачи информации, необходимо использовать линейно независимые или ортогональные сигналы, удовлетворяющие условиям (2-91) или (2-94). Рассматривая соотношении (2-90), отметим, что селекцию канальных сигналов можно осуществить, например, в том случае, если построить селектор как устройство, умно­жающее функцию хЛ(t) на функцию bj(t), ортогональную всем сиг­нальным функциям, кроме skj(t), с последующим интегрированием. При общем принципе действия и множимом хЛ(t) канальные селекто­ры будут отличаться лишь множителем b(t).

Система функций b(t) называется взаимной (или биортогональной) по отношению к функциям sk(t).  Обычно зависимость между системой канальных сигналов и взаимной системой функций b(t) описывается следующим соотношением:

где Aj   некоторая величина, зависящая от сообщения,  передавае­мого по j-му каналу.