6.3.1. Оптимальная диаграмма позиционного перемещения с ограничением координат и принципы ее реализации

Рассмотрим сначала идеализированную оптимальную диаграмму позиционного перемещения с ограничением координат. Как следует из названной выше теории, оптимальный по быстродействию процесс позиционного перемещения механизма на холостом ходу (mс =0), при нулевых начальных условиях θ(0) = 0; ω(0) = 0 и ограничениях на скорость и электромагнитный момент двигателя |ω| ≤ ωдоп; |m| ≤ mдоп в общем случае состоит из трех этапов, показанных на рис. 6.11.

Первый этап – это разгон механизма до максимально допустимой скорости с максимально допустимым пусковым моментом двигателя mп доп = mдоп , а следовательно, и ускорением движения. На втором этапе движение к заданной позиции продолжается при постоянной, максимально допустимой скорости ωдоп . Третий этап – это этап торможения механизма с максимально допустимым замедлением, которое определяется ограничением по моменту (m т доп = m доп).

Рис. 6.11. Оптимальный по быстродействию процесс позиционного

перемещения при ограничении фазовых координат

Время начала торможения (t2) выбирается так, чтобы к моменту остановки механизм совершил заданное перемещение θ. В зависимости от величины заданного перемещения показанный на рис. 6.11 трапецеидальный график скорости может вырождаться в треугольный (при малых перемещениях).

В рамках структур подчиненного регулирования реализация первых двух этапов, т.е. разгон с требуемым темпом и движение с требуемой установившейся скоростью, не представляет затруднений. Наиболее ответственным и трудным для реализации является третий этап. Здесь прежде всего необходимо автоматически определить момент начала торможения, а затем независимо от флюктуации параметров и возмущений обеспечить требуемый темп торможения. По физическому смыслу задачи торможение следует начинать в тот момент, когда текущее рассогласование между заданным и фактическим положениями механизма  будет равно прогнозируемому тормозному пути (перемещению, которое совершит механизм во время торможения). При равнозамедленном торможении с темпом const величина тормозного пути прямо пропорциональна квадрату начальной скорости и обратно пропорциональна темпу торможения:

.

Именно поэтому для принятия решения о начале торможения по сформулированному выше условию выполнения тождества

необходимо не только контролировать текущие значения позиционного рассогласования и скорости, но и предварительно выбрать допустимый темп будущего тормозного процесса. Лишь выбрав темп торможения, можно по текущим значениям скорости оперативно прогнозировать тормозной путь механизма и, сравнивая его с оставшимся путем, принять правильное решение о начале торможения. Выбор момента начала торможения и обеспечение предварительно выбранного темпа торможения есть два взаимосвязанных условия. Их выполнение обеспечивает решение основной задачи позиционирования – остановку механизма в заданной позиции. Нарушение любого из названных условий потребует либо "дотяжки" механизма вследствие недорегулирования, либо возврата в требуемую позицию вследствие перерегулирования.

Для практического выполнения этих условий решения задачи позиционирования используют следующую закономерность. Как известно из физики и теоретической механики, при равнозамедленном целенаправленном движении, приводящем механизм в момент остановки в заданную позицию θ, мгновенные значения скорости ω и текущего позиционного рассогласования Δθ связаны следующей нелинейной функциональной зависимостью:

,

где    сonst.

Практически это означает, что, обеспечивая средствами системы регулирования данную функциональную связь скорости движения с позиционным рассогласованием, можно р
еализовать требуемый равнозамедленный процесс, приводящий механизм в заданную позицию. В рассмотренных ранее линейных САР положения для этого имеются достаточные предпосылки. Во-первых, в замкнутой САР непрерывным вычисляется рассогласование Δθ, которое является входным воздействием регулятора положения. Во-вторых, имеется подчиненная регулятору положения быстродействующая локальная САР скорости, отрабатывающая задание ω* с нормированными характеристиками.

Рис. 6.12.  Структурная схема однократной позиционной САР с нелинейным

регулятором положения и ограничителем выхода регулятора скорости

Регулятор положения замкнутой САР формирует задание скорости в функции рассогласования по положению, т.е. по существу подчиняет скорость позиционному рассогласованию. Следовательно, для принципиального решения рассматриваемой задачи остается лишь выполнить регулятор положения (рис. 6.12) в виде нелинейного функционального преобразователя с характеристикой, отражающей приведенную выше закономерность равнозамедленного движения в заданную позицию.

Принципы и особенности синтеза нелинейного регулятора положения иллюстрирует рис. 6.13. Основой для синтеза характеристики регулятора служит приведенная выше функциональная закономерность целенаправленного равнозамедленного движения, которой соответствует параболическая кривая 1. По существу, кривая 1 является траекторией, описывающей это движение системы на фазовой плоскости в координатах «позиционное рассогласование – скорость». Однако при использовании этой зависимости в качестве характеристики регулятора положения требуется введение определенных коррективов по следующим причинам.

Рис. 6.13. К синтезу характеристики нелинейного регулятора положения

Во-первых, в начале координат кривая 1 является касательной к оси ординат. Следовательно, при стремлении рассогласования к нулю коэффициент усиления регулятора с характеристикой 1 стремится к бесконечности. Это служит причиной неустойчивости замкнутой САР при малых рассогласованиях, т.е. на заключительной стадии процесса позиционного перемещения. Поэтому в зоне малых рассогласований целесообразнее использовать не параболическую характеристику 1, а линейную характеристику 2. Ее наклон логично выбрать так, чтобы коэффициент усиления регулятора положения в линейной зоне обеспечивал настройку САР на модульный оптимум.

Во-вторых, подчиненная регулятору положения система регулирования скорости не является идеальной. Хотя она и обладает астатизмом по управлению, но это астатизм первого, а не второго порядка. Поэтому линейно изменяющийся во времени сигнал задания скорости такая САР отрабатывает с определенной динамической (скоростной) ошибкой. Например, для однократной САР скорости динамическая ошибка на этапе торможения с темпом Ат, составляет

.

Для двукратной САР динамическая ошибка по скорости вдвое выше, чем у однократной.

Неучет этой ошибки при формировании задания скорости вызывает отклонение фактической траектории движения от заданной. Для приближения фактической тормозной траектории к заданной следует уменьшать задание скорости, определяемое характеристикой 1, на величину .

Это компенсирует скоростную ошибку САР скорости. Введение данной коррекции равносильно вертикальному смещению параболической характеристики 1 к оси абсцисс (кривая 4). Интересно отметить, что при настройке САР положения на модульный оптимум линейная характеристика 2 оказывается касательной к смещенной параболической характеристике 4. Координаты точки касания (т.е. точки сопряжения линейной и параболической характеристик регулятора положения) следующие:

В-третьих, позиционная САР должна обеспечить ограничение скорости на втором этапе процесса позиционирования. С этой целью характеристика регулятора положения в зоне больших рассогласований по положению дополняется участком насыщения (линия 3) на уровне .

Таким образом, результирующая характеристика нелинейного регулятора положения синтезируется из трех участков: линейного, смещенного парабо
лического и участка насыщения. Полное математическое описание показанной на рис. 6.13 составной характеристики регулятора с учетом знака рассогласования по положению имеет вид

где   Δθ  = uзп  – θ*      – рассогласование по положению;

Ат  -  выбранный темп торможения механизма;

ω*мах   -  ограничение выхода регулятора положения;

ω*к  -  коррекция динамической ошибки САР скорости;

kрп  -  коэффициент усиления регулятора положения в линейной зоне;

Δθ.лэ  -  граница линейной зоны.

Для однократных (статических) позиционных САР, настроенных в зоне малых рассогласований на модульный оптимум, значения  kрп = Тб/2Тω ;   ω*к = Ат Тω;

Δθ.лэ = (2Ат Т2ω)/Тб.

Для астатических (двукратных) позиционных САР с той же настройкой

kрп = Тб/4Тω ;  ω*к = 2Ат Тω ;  Δθ.лэ = (8Ат Т2ω)/Тб, здесь  Тω  = 4Тμ.

Как известно, при настройке на модульный оптимум позиционная САР отрабатывает перемещение с небольшим перерегулированием. Для некоторых механизмов, особенно имеющих люфт механической передачи, такое перерегулирование нежелательно. В этих случаях проектанты и настройщики отступают от модульного оптимума, обеспечивая апериодический процесс за счет уменьшения коэффициента усиления регулятора положения. Вследствие уменьшения угла подъема линейного участка характеристики регулятора абсцисса точки пересечения линейного и параболического участков (граница линейной зоны) определяется формулой

.