Дельта-функция

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом ( рис. 1.10):

                                     (1.5)

(разность двух ступенчатых функций, смещенных во времени на величину x/2).

При любом выборе параметра площадь этого импульса равна единице:

.

Рис. 1.10. График импульсного сигнала, описываемого выражением (1.5)

Пусть теперь величина стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при 0 носит название дельта-функции, или функции Дирака:

.                                               (1.6)

Будучи равной нулю всюду, за исключением точки t = 0 (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом

.                                                       (1.7)

Дельта-функция является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).

В математике показано, что свойства дельта-функции присущи пределам многих последовательностей обычных классических функций:

                                       (1.8)

.                                             (1.9)