В разделе 1 обсуждался способ сравнения двух сигналов, основанный на вычислении угла y, образованного векторами данных сигналов в гильбертовом пространстве. Эту же идею можно использовать для сопоставления сигналов на входе и выходе линейной стационарной системы (рис. 4.10).
Обобщённая формула Релея позволяет выразить скалярное произведение этих сигналов через их спектральные плотности:
Поскольку мнимая часть коэффициента передачи есть нечётная функция частоты, последняя формула упрощается:
. (4.51)
Угол y между векторами входного и выходного сигналов можно найти из соотношения
. (4.52)
Пример 4.3. Вычислить угол y между сигналами на входе и выходе RC-цепи, имеющий частотный коэффициент передачи: K(jw) = 1/(1+jwt), при воздействии идеальным низкочастотным сигналом, энергетический спектр которого отличен от нуля и равен W0 лишь в пределах интервала частот 0 <w< wв.
Поскольку здесь ReK(jw) = 1/(1+w2t2), в данном частном случае интеграл (4.51) численно равен квадрату нормы выходного сигнала. Отсюда следует, что
. (4.53)
Если произведение wвt » 1, то Cosy®0. Это означает, что RC-цепь создаёт на выходе сигнал, почти ортогональный по отношению к сигналу на входе (рис. 4.11). Природу этого эффекта можно понять из качественных рассуждений, приняв во внимание, что благодаря инерционным свойствам цепи выходной сигнал задерживается во времени.