Описание линейных динамических систем в пространстве состояний

Любое дифференциальное уравнение n-го порядка вида (4.31) можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого следует ввести совокупность вспомогательных функций, построенную по правилу: x₁(t) = u_вых(t),  x₂(t) = u’_вых(t), … , x_n(t) = . Данные функции являются координатами вектора состояния (t) = (x₁, x₂, … , x_n), который принадлежит пространству состояний рассматриваемой динамической системы.

Легко видеть, что при этом уравнение (4.31) эквивалентно следующей системе уравнений:

                       (4.36)

При описании системы в пространстве состояний матричная экспонента играет роль импульсной характеристики.

В матричном виде данная система записывается так:

.                                               (4.37)

Здесь  — постоянная матрица коэффициентов;

=(0, 0, … , f) – вектор-столбец внешних сигналов, действующих на систему.

Если ввести матричную экспоненциальную функцию посредством ряда

где I – единичная матрица размерности , то решение уравнения (4.37) запишется в виде, формально полностью совпадающем с решением однородного дифференциального уравнения 1-го порядка:

,                           (4.38)

где  — произвольный n-мерный вектор начальных условий.