При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемые z-преобразования, играющие по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам.
Определение z-преобразования
Пусть 
– числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:
. (1.46)
Назовём эту сумму, если она существует, z-преобразованием последовательности 
. Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их z-преобразования обычными методами математического анализа. В математике z-преобразование называют также производящей функцией исходной последовательности.
На основании формулы (1.46) можно непосредственно найти z-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчётов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом 
соответствует 
. Если же, например, 
, то
.
Сходимость ряда
Если в ряде (1.46) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию
(1.47)
при любых 
. Здесь 
и 
– постоянные вещественные числа.
Тогда ряд (1.46) сходится при всех значениях z, таких, что 
. В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.
Рассмотрим, например, дискретный сигнал 
, образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд
является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце 
. Суммируя прогрессию, получим:
.
На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс. Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала 
, где а – некоторое вещественное число. Здесь:
.
Данное выражение имеет смысл в некоторой кольцевой области 
.
Z-преобразование непрерывных функций
Полагая, что отсчёты 
есть значения непрерывной функции 
в точках 
, любому сигналу можно сопоставить его z-преобразование при выбранном шаге дискретизации:
. (1.48)
Например, если 
, то соответствующее z-преобразование
является аналитической функцией при 
.
Обратное z-преобразование
Пусть
p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> – функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области
. Замечательное свойство z-преобразования состоит в том, что функция 
определяет всю бесконечную совокупность отсчётов 
. Действительно, умножим обе части ряда (1.46) на множитель 
:
(1.49)
Затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы :
. (1.50)
Обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, против часовой стрелки.
Для решения уравнения (1.50) воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:
.
Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части выражения (1.50) обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому
. (1.51)
Формула (1.51) называется обратным z-преобразованием.
Пример
Задано z-преобразование вида 
. Найти коэффициенты дискретного сигнала , отвечающего этой функции.
Прежде всего, определим, что функция аналитична во всей плоскости, за исключением точки 
, поэтому она действительно может быть z-преобразованием некоторого дискретного сигнала.
Перед тем, как решать данную задачу, вспомним из курса высшей математики методику решения криволинейных интегралов с использованием теории вычетов и теоремы Коши о вычетах. Пусть точка 
есть изолированная особая точка функции 
. Вычетом функции в точке называется число, обозначаемое символом 
и определяемое равенством:
В качестве контура g можно взять окружность с центром в точке достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции
и не содержала внутри других особых точек функции . Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении в окрестности точки 
: 
. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Если точка 
есть полюс n-го порядка функции , то
.
В случае простого полюса (
)
.
Если функция в окрестности точки представима как частное двух аналитических функций
,
причем 
, т.е. есть простой полюс функции , то
.
Обращаясь к формуле (1.48), находим, что
при любых
idth=41 height=19 src=https://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif>. Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид:
.
Связь с преобразованием Лапласа и Фурье
Определим при 
сигнал вида идеальной МИП:
Преобразовав его по Лапласу, получим изображение
(1.52)
которое непосредственно переходит в z-преобразование, если выполнить подстановку 
. Если же положить 
, то выражение
(1.53)
будет преобразованием Фурье импульсной последовательности.
Важнейшие свойства Z-преобразования
1. Линейность. Если 
и 
– некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие z-преобразования 
и 
, то сигналу 
будет отвечать преобразование 
при любых постоянных a и b. Доказать данное свойство можно путём подстановки суммы в формулу (1.46).
2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда 
. Непосредственно вычисляя z-преобразование, получаем следующий результат:
. (1.54)
Таким образом, символ z-1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в z-области.
3. Z-преобразование свёртки. Пусть 
и 
– непрерывные сигналы, для которых определена свёртка
. (1.55)
Применительно к дискретным сигналам по аналогии со свёрткой (1.55) принято вводить дискретную свёртку 
– последовательность чисел, общий член которой равен:
(1.56)
Подобную дискретную свёртку в отличие от круговой иногда называют линейной свёрткой.
Вычислим z-преобразование дискретной свёртки:
(1.57)
Свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение их z-преобразований.
