3.2.1. Принцип действия

Ток через конденсатор связан с напряжением на нем дифференциальной зависимостью:

Чтобы воспользоваться результатом дифференцирования, нужно создать напряжение, пропорциональное току i_С. Это имеет место в цепи (рис. 3.1), в которой выходное напряжение снимается с резистора R:

где t = RC – постоянная времени цепи.

Однако напряжение u_BX на входе этой цепи, которое должно подвергаться дифференцированию, отличается от u_C. Оценим погрешность, обусловленную их разностью:

Первый член правой части этого равенства – полезный результат дифференцирования, второй член – ошибка. Она уменьшается с уменьшением t (но при этом одинаково уменьшается и полезный результат) и отсутствует при , т.е. когда u_BЫX = U = const (в частности, когда u_BЫX = 0).

Отсутствие ошибки при u_BЫX = U = const объясняется тем, что в этом случае напряжение на конденсаторе (u_C = u_BX – U) изменяется по тому же закону, что и u_BX. Поэтому

т.e. выходное напряжение пропорционально производной входного напряжения.

Результат математического дифференцирования равен нулю, если дифференцируется постоянная величина; он равен постоянному отличному от нуля значению, если дифференцируется линейно изменяющаяся функция.

Когда на входе цепи (см. рис. 3.1) действует напряжение, соответствующее одной из таких функций, то установившееся выходное напряжение – результат его безошибочного дифференцирования.

Действительно, пусть к цепи (см. рис. 3.1) в момент t₁ прикладывается напряжение u_BX = U (рис. 3.2). Так как конденсатор С мгновенно зарядиться не может, то скачок напряжения выделяется на резисторе R. Благодаря малой постоянной времени t заряд конденсатора происходит сравнительно быстро, а напряжение на выходе с той же скоростью стремится к нулю. Установившееся значение (u_BЫX = 0) – результат безошибочного дифференцирования постоянного уровня u_BX = U.

Предположим теперь, что на цепь воздействует передний фронт пилообразного импульса длительностью t_и – линейно изменяющееся напряжение u_BX = at (рис. 3.3), где a – определяет скорость нарастания и имеет размерность В/с. Вначале скорость заряда конденсатора мала, так как напряжение на входе еще незначительно; поэтому большая часть u_BX выделяется на выходе. С течением времени скорость заряда конденсатора возрастает и при t << t_и приблизится к значению a задолго до окончания импульса.

После этого все изменения u_BX выделяются по существу на конденсаторе, а напряжение на выходе цепи остается практически постоянным: u_BЫX = ta. Это значение выходного напряжения пропорционально производной входного напряжения (u_BX = at), т.е. является результатом его безошибочного дифференцирования.

Таким образом, напряжения u_BX = U и u_BX = at дифференцируются цепью (рис. 3.1) практически без ошибок, но результат такого дифференцирования устанавливается на выходе не сразу. Чем меньше t цепи, тем меньше это запаздывание и тем меньше погрешность дифференцирования.

Рассмотрим реакцию цепи (см. рис. 3.1) на прямоугольный импульс длительностью t_и (рис. 3.4), когда t << t_и. Воздействие положительного перепада уже описывалось: в момент t₁ появления импульса положительный скачок напряжения U_m выделяется на выходе, затем начинается заряд конденс
атора и напряжение на выходе становится практически равным нулю задолго до окончания входного импульса (t << t_и).

С момента окончания входного импульса в цепи действует только напряжение u_C, которое через генератор импульсов (его внутреннее сопротивление считаем равным

нулю) прикладывается к выходу, т.е. u_BЫX с точностью до знака повторяет напряжение u_C. Поэтому в момент t₂ на выходе цепи появляется напряжение U_m с отрицательной полярностью на верхнем (см. рис. 3.4) и с положительной на нижнем концах резистора. Этот отрицательный перепад быстро спадает до нуля, так как конденсатор быстро разряжается.

RC – цепь (см. рис. 3.4) с постоянной времени, много меньшей длительности входного импульса, называют  дифференцирующей.

Наиболее часто такую цепь используют для дифференцирования прямоугольных импульсов, в результате которого получаются короткие остроконечные импульсы (см. рис. 3.4). Поэтому дифференцирующую цепь называют также укорачивающей и  обостряющей.

Используются остроконечные импульсы широко, в частности, для пуска импульсных устройств. Сохраняя по существу крутой фронт исходного прямоугольного импульса, остроконечный импульс спадает настолько быстро, что не влияет на последующую работу запускаемого устройства.

Длительность t_и остроконечных импульсов на выходе дифференцирующей цепи оценивается на определенном уровне: длительность по основанию оказывается бесконечно большой, так как напряжение спадает экспоненциально. Обычно t_и определяют на уровне 0,5U_m. В соответствии с этим запишем: , откуда  или .

Переходя от натуральных логарифмов к десятичным, получаем окончательно: t_и = 2,3t lg2 = 0,7t.

Чем меньше постоянная времен изменение формы импульсов при дифференцировании легко объяснить, рассматривая их как совокупность гармоник, каждая из которых делится между конденсатором и резистором. Для низкочастотных гармоник, составляющих плоскую вершину входного импульса, сопротивление конденсатора Х_С = 1/ wС оказывается много больше сопротивления резистора R. Поэтому на выход плоская вершина почти не передается.