4.9.1. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Пусть дана цепь (рис. 4.29), содержащая нелинейную индуктивность и линейное сопротивление. Цепь питается переменным напряжением u(t) = U_m sint.

Вебер-амперная характеристика (ВбАХ) задана графиком (рис. 4.30).

Аппроксимируем характеристику тремя отрезками (1 – 2), (2 – 3) и (4 – 1). Цепь стала кусочно-линейной. Если поток не превышает y_m, то в цепи не возникает ток. Появление в цепи тока приводит к постоянству магнитного потока.

Расчет начнем с момента времени t = 0. Пусть в этот момент рабочая точка характеристики находилась на отрезке (1 – 2) и потокосцепление равно:. По второму закону Кирхгофа составим уравнение процесса:

u = ir +.

Учтем, что пока поток не достиг максимального значения, в цепи нет тока:

u = .

Найдем магнитный поток:

.

Это решение справедливо, пока y y_m. Найдем постоянную интегрирования (с) в момент времени t = 0:

y(0)= -y_m =,

отсюда:

c =.

Определим момент времени t₁ когда y = +y_m. Для этого подставим в формулу потока этот момент времени, получим:

y_m= —,

откуда:

cos t₁=

или

.

При t > t₁ рабочая точка перешла на участок (2 – 3) (рис. 4.30). Потокосцепление равно: y= +y_m и поэтому его производная равна нулю: .

Тогда основное уравнение примет вид:

.

Ток равен:

.

Это решение будет справедливо до тех пор, пока ток не станет равным нулю. Этот момент времени равен:

t = .

Ток на участке 2 – 1 равен нулю: i = 0. Потокосцепление можно определить аналогично:

.

Постоянную интегрирования с₁ найдем при t = :

,

отсюда:

c₁= y_m– .

Найдем момент времени t₂, когда потокосцепление равно:

,

отсюда

.

При t > t₂ уравнение для тока такое же, как при t > t₁:

.

Результаты расчетов проиллюстрируем временными графиками (рис.4.31)

Рассмотрим другой пример. Пусть аппроксимация имеет вид (рис. 4.32). Порядок расчета оставим без изменений. Расчет начнем с момента времени t = 0. Рабочая точка находится на участке 1 – 2 (точка 1), которая характеризуется двумя параметрами:

Процессы в заданной электрической цепи описываются уравнением:

u= ir +.

Учитывая, что на участке 1 – 2 индуктивность линейна, уравнение примет вид:

,

где .

Это уравнение линейно и его решение имеет вид:

i(t)= Ae^pt + i_пр = .

Постоянную интегрирования А найдем при t = 0:

-i₁=,

тогда

.

Полученное решение будет справедливо до тех пор, пока ток . Найдем момент времени, когда ток :

.

Полученное уравнение является трансцендентным, поэтому поиск t₁ осуществляют графически.

При t > t₁ рабочая точка переходит на участок (2 – 3), на котором ток равен:

.

Когда этот ток вновь станет равным i₁, рабочая точка перейдет на участок (2 – 1). Найдем этот момент времени t₂:

,

отсюда

.

Дальнейшие расчеты повторяются. Результаты расчетов представлены на (рис. 4.33).

Сравнивая результаты расчетов, убеждаемся в их различии.