Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом ( рис. 1.10):
(1.5)
(разность двух ступенчатых функций, смещенных во времени на величину x/2).
При любом выборе параметра площадь этого импульса равна единице:
.
Рис. 1.10. График импульсного сигнала, описываемого выражением (1.5)
Пусть теперь величина стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при 0 носит название дельта-функции, или функции Дирака:
. (1.6)
Будучи равной нулю всюду, за исключением точки t = 0 (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом
. (1.7)
Дельта-функция является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).
В математике показано, что свойства дельта-функции присущи пределам многих последовательностей обычных классических функций:
(1.8)
. (1.9)