1.5. Безвихревой характер электростатического поля. Градиент электрического потенциала

Условие (1.4) свидетельствует, что электростатическое поле имеет безвихревой характер.

Поле, удовлетворяющее этому условию, называют безвихревым.

Электрический потенциал, с учетом условия (1.4), может быть связан с вектором напряженности электрического поля при помощи следующего соотношения:

.

(1.7)

Градиент потенциала равен приращению потенциала, отнесенному к единице длины и взятому в направлении, в котором это приращение имеет наибольшее значение.

Формы представления градиента в различных системах координат различны. В декартовой системе координат его записывают так:

Здесь ? – дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла).

Оператор Гамильтона применяют для сокращения записи различных операций над функциями, в том числе и операцию взятия градиента.

Таким образом, равенство (1.7) может быть записано в форме

Знак минус в этом равенстве (и эквивалентном ему равенстве (1.7)) указывает, что потенциал убывает в направлении линий напряженности поля.

Все сказанное свидетельствует о том, что всякое безвихревое поле есть поле потенциальное, то есть такое, которое может быть охарактеризовано потенциальной функцией U.

Обратно, всякое потенциальное поле является безвихревым.