Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, подставляя в уравнение
вместо величин Ех; Еу; Еz их выражения через потенциал:
получаем уравнение
Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона.
Интеграл
является решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства.
Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид
и называется в этом частном случае уравнением Лапласа.
Отметим, что в цилиндрической и сферической системах координат уравнение Пуассона и Лапласа имеют другую форму записи. Поэтому данные уравнения часто записывают в виде, не зависящем от системы координат:
?2U = -r/e; (1.11)
?2U = 0. (1.12)
Оператор ?2 часто обозначают 
и называют оператором Лапласа или лапласианом.
При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют из граничных условий.
