2.2. Вывод формулы интеграла Дюамеля

Все дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда нужно рассчитать ток.

Непрерывно изменяющееся напряжение (рис. 2.6) заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками .

Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при + на постоянное напряжение .

А затем, как включение элементарных постоянных напряжений , смещенных друг от друга на интервалы времени и имеющих знак «плюс» или «минус», смотря по тому, рассматривается возрастающая или падающая ветвь заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент от постоянного напряжения равна:

.

Составляющая тока в момент от элементарного скачка напряжения , включаемого в момент времени , (рис. 2.6), равна:

.

Здесь аргументом переходной проводимости служит время , поскольку элементарный скачок напряжения начинает действовать на время позднее включения рубильника или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментом начала действия этого скачка и моментом времени равен:

.

Элементарный скачок напряжения (рис. 2.6) может быть выражен следующим образом:

.

Поэтому искомая составляющая тока равна:

.

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от до момента , для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения , получаем:

Можно было представить все остальные включения на постоянном напряжении, но из-за громоздкости (рис. 2.7) этого не делается, к тому же все остальные действия достаточно понятны.

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения называется формулой или интегралом Дюамеля. Это выражение часто называют первой формой записи формулы Дюамеля.

Этой формулой пользуются тогда, когда воздействие описывается одной или несколькими формулами.

Если же воздействие не поддаётся аналитическому описанию, то вместо интеграла пользуются суммой Дюамеля:

.

Кроме этих формул, благодаря различным математическим действиям можно получить ряд других форм записи интеграла Дюамеля.

Так, например можно привести пример четвертой формы записи формулы Дюамеля:

.

Ту или иную форму записи выбирают, руководствуясь удобством и простотой вычислений.

Adblock
detector