3.11. Разложение сложной дроби на простые составляющие

Из курса матема­тики известно, что дробь

при условии, что n < m и что полином М (x) = 0 не имеет кратных кор­ней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

, (*)

или

,

где x_k –корни уравнения М(x) = 0.

Для определения коэффициента A₁ умножим обе части уравнения (*) на (x – x₁), получим:

(**)

Рассмотрим выражение (**) при х стремящемся к х₁. Правая часть уравнения дает А₁, левая часть представляет собой неопределенность, так как множи­тель (x – x₁) при х ® х₁ дает нуль и знаменатель М(х) при х = х₁ тоже дает нуль, так как х₁ есть корень уравнения М (х) = 0.

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя и найдем предел дроби:

,

где М’(х) – производная от М(х) по х; М’(х₁) – значение М’(х) при х = х₁; N(х₁) – значение N(х) при х = х_1. Следовательно, при х > 1 получаем уравнение:

.

Аналогично,

Таким образом:

или

.