3.2. Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных процессов

Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины

Пусть оригинал является постоянной величиной f(t) = U₀ = const. Вычислим интеграл Лапласа:

.

Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор (р).

Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.

Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона:

C(p) = p F(p).

Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.

Изображение показательной функции

Если функция времени представляет собой показательную функцию , то изображение можно получить с помощью интеграла Лапласа:

.

Таким образом:

.

Отсюда вытекает ряд важных следствий.

1) Положив a = jw, получим:

.

2) Функции е^-?tt соответствует изображение:

3)

Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например,

ЭДС ,

то E(p), при , равно:

.

Изображение по Лапласу комплексной величины

Пусть, тогда при t = 0, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения:

.

Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:

.

Изображение по Лапласу производной функции времени

Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной , если известно, что значение функции f(t) при t = 0 равно f(0).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозначив и , получим:

Следовательно,

,

но

a

Таким образом,

;

Изображение напряжения на индуктивности

Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктив­ности:

По формуле определим изображение производной тока:

где i(0) – значение тока i при t = 0. следовательно,

.

Если i(0) = 0, то

Изображение второй производной

Аналогично тому, как было получено изображение первой производной, получаем изображение второй производной

Следовательно, изображение второй производной тока i:

Изображение интеграла функции времени

Требуется найти

изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(р).

Подвергнем

функцию преобразованию Лапласа:

и возьмем интеграл по частям:

Первое слагаемое правой части полученного выражения при подстановке и верхнего, и ниж­него предела дает нуль.

Таблица 3.1
Оригинал	Изображение
f(t)	F(p)
i(t)	I(p)
U0
	pF(р) – f(0)
	LpI(p) – Li(0—)
Em sin(wt)

При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t): функция f(t) если и растет с увеличением t, то все же медленнее, чем растет функция е^at, где а – действительная часть корня р.

При подстановке нижнего предела нуль получается за счет обращения в нуль .

Следовательно, если то

Изображение напряжения на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе ()

часто записывают в виде:

,

где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через конденсатор в интер­вале времени от 0 до t, но и тем напряжением которое на нем было при t = 0.

В соответствии с формулой Лапласа оригиналу соответствует изображение , а изображение постоянной есть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе запи­сывают следующим образом:

Сведем все преобразования в таблицу 3.1.