Пусть задана часть сложной разветвленной электрической цепи (рис. 3.5). Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая элементы R, L, С и источник ЭДС е (t). Ток ветви обозначим через i.
Замыкание ключа К в цепи приводит к переходному процессу.
До коммутации ток был равен i(0-) и напряжение на конденсаторе равно uc (0—).
Выразим потенциал точки а через потенциал точки b для послекоммутационного режима:
ja = jb + uc + uL + ur – e(t);
uab= ja– jb = uc + uL + ur – e(t).
Вместо uL запишем L, вместо uc запишем uc(0—)+, тогда:
uab= ir + L + uc(0—)+ .
К полученному уравнению применим преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений.
Каждое слагаемое уравнения заменим операторным изображением: вместо ir запишем rI(р); вместо uab запишем Uab(p);
L; .
Получим:
Uab(p) = I(p)(R + pL + ) – Li(0) + – Е(р).
Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения получили алгебраическое уравнение, связывающее изображение тока I (р) с изображением ЭДС Е (р) и изображением напряжения Uab(p). Отсюда следует:
,
где Z(p) = R + pL + 1 / pC представляет собой операторное сопротивление участка цепи между точками а и b. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если jw заменить на р.
Комплексное число р = а + jb запишем в виде:
p = j(b – ja) = jW,
где W = b – jа – комплексная частота.
Сопротивление Z(p) = Z(jW), оказываемое рассматриваемой цепью воздействию , подобно тому, как Z (jw) есть сопротивление, оказываемое воздействию.
Слагаемое Li(0) представляет собой фиктивный операторный источник начальных условий, обусловленный запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации.
Слагаемое представляет собой фиктивный операторный источник начальных условий, обусловленный запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем uc(0) непосредственно до коммутации.
Операторная схема замещения участка цепи (рис. 3.5) приведена на рис. 3.6.
В частном случае, когда на участке ab отсутствует ЭДС e (t) и к моменту коммутации i(0) = 0 и uc(0) = 0 операторный ток имеет более простой вид:
I(p) = .