3.6. Закон Ома в операторной форме

Пусть задана часть слож­ной разветвленной электрической цепи (рис. 3.5). Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая элементы R, L, С и источник ЭДС е (t). Ток ветви обозначим через i.

Замыкание ключа К в цепи приводит к переходному процессу.

До коммутации ток был равен i(0-) и напряжение на конденсаторе равно u_c (0_—).

Выразим потенциал точки а через потенциал точки b для послекоммутационного режима:

j_a = j_b + u_c + u_L + u_{r –} e(t);

u_ab= j_a– j_b = u_c + u_L + u_{r –} e(t).

Вместо u_L запишем L, вместо u_c запишем u_c(0_—)+, тогда:

u_ab= ir + L + u_c(0_—)+ .

К полученному уравнению применим преобразование Лапласа. Преобра­зование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений.

Каждое слагаемое уравнения заменим операторным изобра­жением: вместо ir запишем rI(р); вместо u_ab запишем U_ab(p);

L; .

Получим:

U_ab(p) = I(p)(R + pL + ) – Li(0) + – Е(р).

Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо диф­ференциального уравнения получили алгебраическое уравнение, связывающее изображение тока I (р) с изображением ЭДС Е (р) и изображением напряжения U_ab(p). Отсюда сле­дует:

,

где Z(p) = R + pL + 1 / pC представляет собой операторное сопротивление участка цепи между точками а и b. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если jw заме­нить на р.

Комплексное число р = а + jb запишем в виде:

p = j(b – ja) = jW,

где W = b – jа – комплексная частота.

Сопротивление Z(p) = Z(jW), оказываемое рассматриваемой цепью воздействию , подобно тому, как Z (jw) есть сопротивление, оказываемое воздействию.

Слагаемое Li(0) представляет собой фиктивный операторный источник начальных условий, обуслов­ленный запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации.

Слагаемое представляет собой фиктивный операторный источник начальных условий, обуслов­ленный запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем u_c(0) непосредственно до коммутации.

Опера­торная схема замещения участка цепи (рис. 3.5) приведена на рис. 3.6.

В частном случае, когда на участке ab отсутствует ЭДС e (t) и к моменту коммутации i(0) = 0 и u_c(0) = 0 операторный ток имеет более простой вид:

I(p) = .