Пусть дана цепь (рис. 4.29), содержащая нелинейную индуктивность и линейное сопротивление. Цепь питается переменным напряжением u(t) = Um sint.
Вебер-амперная характеристика (ВбАХ) задана графиком (рис. 4.30).
Аппроксимируем характеристику тремя отрезками (1 – 2), (2 – 3) и (4 – 1). Цепь стала кусочно-линейной. Если поток не превышает ym, то в цепи не возникает ток. Появление в цепи тока приводит к постоянству магнитного потока.
Расчет начнем с момента времени t = 0. Пусть в этот момент рабочая точка характеристики находилась на отрезке (1 – 2) и потокосцепление равно:. По второму закону Кирхгофа составим уравнение процесса:
u = ir +.
Учтем, что пока поток не достиг максимального значения, в цепи нет тока:
u = .
Найдем магнитный поток:
.
Это решение справедливо, пока y ym. Найдем постоянную интегрирования (с) в момент времени t = 0:
y(0)= -ym =,
отсюда:
c =.
Определим момент времени t1 когда y = +ym. Для этого подставим в формулу потока этот момент времени, получим:
ym= —,
откуда:
cos t1=
или
.
При t > t1 рабочая точка перешла на участок (2 – 3) (рис. 4.30). Потокосцепление равно: y= +ym и поэтому его производная равна нулю: .
Тогда основное уравнение примет вид:
.
Ток равен:
.
Это решение будет справедливо до тех пор, пока ток не станет равным нулю. Этот момент времени равен:
t = .
Ток на участке 2 – 1 равен нулю: i = 0. Потокосцепление можно определить аналогично:
.
Постоянную интегрирования с1 найдем при t = :
,
отсюда:
c1= ym– .
Найдем момент времени t2, когда потокосцепление равно:
,
отсюда
.
При t > t2 уравнение для тока такое же, как при t > t1:
.
Результаты расчетов проиллюстрируем временными графиками (рис.4.31)
Рассмотрим другой пример. Пусть аппроксимация имеет вид (рис. 4.32). Порядок расчета оставим без изменений. Расчет начнем с момента времени t = 0. Рабочая точка находится на участке 1 – 2 (точка 1), которая характеризуется двумя параметрами:
Процессы в заданной электрической цепи описываются уравнением:
u= ir +.
Учитывая, что на участке 1 – 2 индуктивность линейна, уравнение примет вид:
,
где .
Это уравнение линейно и его решение имеет вид:
i(t)= Aept + iпр = .
Постоянную интегрирования А найдем при t = 0:
-i1=,
тогда
.
Полученное решение будет справедливо до тех пор, пока ток . Найдем момент времени, когда ток :
.
Полученное уравнение является трансцендентным, поэтому поиск t1 осуществляют графически.
При t > t1 рабочая точка переходит на участок (2 – 3), на котором ток равен:
.
Когда этот ток вновь станет равным i1, рабочая точка перейдет на участок (2 – 1). Найдем этот момент времени t2:
,
отсюда
.
Дальнейшие расчеты повторяются. Результаты расчетов представлены на (рис. 4.33).
Сравнивая результаты расчетов, убеждаемся в их различии.