5.3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном режиме

Пусть напря­жение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени.

Воспользуемся комплексно-символическим методом.

Изображение тока

где

.

Изображение напряжения:

где .

Комплексы и являются функциями расстояния х, но не яв­ляются функциями времени. Множитель е^jwt есть функция времени t, но не зависит от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произве­дения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой функцией только t, дает возможность перейти от уравне­ний в частных производных (5.1) и (5.4) к уравнениям в простых производных. Действительно,

,

(5.5)

(5.6)

Подставим уравнения (5.5) и (5.6) в уравнения (5.1) и (5.4), сократив в получен­ных уравнениях множитель е^jwt:

(5.7)

(5.8)

где

Z₀ = R₀ + jwL₀;

(5.9)

Y₀ = G₀ + jwC₀;

(5.10)

Решим систему уравнений (5.7) и (5.8) относительно . С этой целью продифференцируем уравнение (5.7) по х:

.

(5.11)

В уравнении (5.11) вместо подставим правую часть уравнения (5.8), получим:

.

(5.12)

Уравнение (5.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его решение:

. (5.13)

Комплексные числа и в решении (5.13) есть постоянные интегрирования, ко­торые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линии.

Комплексное число

,

(5.14)

принято называть постоянной распространения. Формулу (5.14) можно предста­вить в виде:

= a + jb, (5.15)

где a – коэффициент затухания, характеризует затухание падающей волны на единицу длины линии, скажем, на 1 м (км); b – коэффи­циент фазы;

он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии, например на 1 м (км):

[] = [a] = [b] = 1/км.

Ток найдем из уравнения (5.7):

. (5.16)

Отношение

в

решении (5.16), имеющее размерность со­противления с учетом обозначений (5.9) и (5.10), обозначают Z_в и называют волновым сопротивлением:

, (5.17)

где z_{b –} модуль; j_{в –} аргумент волнового сопротивления Z_в.

Следовательно, решение (5.16), с учетом (5.17)

.