Пусть R0 – продольное активное сопротивление единицы длины линии (рис. 5.2); L0 – индуктивность единицы длины линии; С0 – емкость единицы длины линии; G0 – поперечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводимость G0 не является обратной величиной продольного сопротивления R0.
Разобьем линию (рис. 5.2) на участки длиной dx, где x – расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx: активное сопротивление равно R0dx; индуктивность – L0dx; проводимость утечки – G0dx; емкость – С0dx.
Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через i и напряжение между проводами линии в начале участка и. И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в дальнейшем в уравнениях использованы частные производные от и и i по времени t и расстоянию х.
Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен i, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен:
,
где 
– скорость изменения тока в направлении х. Скорость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx.
Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в конце участка для того же момента времени напряжение равно:
u+
dx.
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке:
-u + R0 dxi + L0 dx 
+ u + dx = 0.
После упрощения и деления уравнения на dx получим:
— = L0 
+ R0i.
(5.1)
По первому закону Кирхгофа,
i = di + i + 
dx. (5.2)
Ток di (рис. 5.2) равен сумме токов, проходящих через проводимость G0dx и емкость С0dx:
di = (u + dx) G0 dx + 
C0 dx (u
+ dx).
Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получаем
di = u G0 dx + C0 dx 
.
(5.3)
Подставим выражение (5.3) в выражение (5.2), упростим и поделим полученное уравнение на dx:
— = G0 u + C0 .
(5.4)
Уравнения (5.1) и (5.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.
