В классической математике полагают, что функция S(t) должна принимать какие-то значения в каждой точке оси t. Однако рассмотренная функция (t) не вписывается в эти рамки – ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Очевидна необходимость расширить само понятие функции как математической модели сигнала. Современная математика преодолела эту трудность, введя принципиально новое понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Держа в руках и рассматривая какой-либо предмет, мы его поворачиваем, стремясь получить множество проекций этого объекта на всевозможные плоскости.
Аналогом "проекции" исследуемой функции f(t) может служить, например, значение интеграла
(1.13)
при известной функции (t), которую называют пробной функцией.
Каждой функции (t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение (, ). Поэтому говорят, что формула (1.13) задает некоторый функционал на множестве пробных функций (t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, т. е.
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций (t) задана обобщенная функция (t).
Подчеркнем, что интеграл в правой части выражения (1.13) нужно понимать формально – аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Именно с таких позиций следует рассматривать формулу динамического представления (1.12):
.
Обобщенные функции, даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать. Для этого следует принять во внимание, что пробные функции (t) являются финитными, т. е. обращаются в нуль вне конечного отрезка t1 t t2. Тогда производная = d/dt обобщенной функции (t) задается функционалом (вспомните формулу интегрирования по частям):
В качестве примера найдем производную функции Хевисайда (t), рассматривая последнюю как обобщенную функцию.
.
Поэтому
(1.14)
причем равенство (1.14) необходимо понимать именно в смысле теории обобщенных функций, поскольку в классическом смысле производная (t) при t = 0 просто не существует.
Таким же образом можно определить и производную -функции
.
Хотя явная формула для (t) отсутствует: такой математический объект существует и действует по правилу – каждой классической функции (t) он сопоставляет числовое значение ее производной в нуле с точностью до знака. Обобщенные функции иногда называют также распределениями.
