Для сигнала s(t) введём конечномерную аппроксимацию:
с неизвестными пока коэффициентами Ck и выберем эти коэффициенты так, чтобы минимизировать энергию ошибки аппроксимации:
. (1.34)
Необходимое условие минимума состоит в том, что коэффициенты должны удовлетворять системе линейных уравнений
, m=0, 1, 2, …, N. (1.35)
В развёрнутой форме энергия ошибки аппроксимации
.
Поскольку рассматриваемая базисная система функций ортогональна, отсюда следует, что
.
Приняв во внимание единичную норму базисных функций, приходим к выводу, что равенства (1.35) будут выполняться, если
т. е.
соответствует условию обобщённого ряда Фурье. При разложении сигнала в обобщённый ряд Фурье обеспечивается минимум энергии ошибки аппроксимации.
Гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты: если предельное значение суммы
существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.
В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N – числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины.