Ряд Фурье

Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами:

                   (2.2)

Любая функция u_m из базиса (2.2) удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s(t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

,                                                       (2.3)

получим спектральное разложение

,                                                (2.4)

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Следует обратить внимание на то, что энергия периодического сигнала неограниченно велика. Поэтому необходимо говорить о мощности сигнала – энергии в единицу времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье данного сигнала. Введем основную частоту  последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала.

                         (2.5)

с коэффициентами:

                                      (2.6)

Из формул для коэффициентов ряда Фурье следует, что четный сигнал имеет только косинусоидальные, а нечетный – только синусоидальные слагаемые.

В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами  w_n =  nw₁ (n = 1, 2, 3…), кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой A_n и начальной фазой j_n . Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде:

,

так что

.

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:

.                                (2.7)