4.3.       Дискретизация и восстановление непрерывных изображений

В системы цифровой обработки изображений обычно поступают массивы чисел, полученные путем дискретизации реального изображения по пространственным переменным. После обработки образуются новые числовые массивы, используемые для

восстановления непрерывного изображения, которое и рассматривает человек. Отсчеты изображения получаются в результате измерения некоторых физических характеристик реального изображения, как, например, яркости или оптической плотности.

Любое измерительное устройство работает с какой-то погрешностью. Чтобы оценить достоверность измеренных значений и создать методы компенсации ошибок, важно иметь математическую модель ошибок измерения. Кроме того, часто не удается непосредственно измерить характеристики исходного изображения и вместо них измеряются некоторые величины, относящиеся к другому изображению, которое является функцией исходного. Для определения характеристик исходного изображения эту функцию приходится «обращать». Мы рассмотрим процессы дискретизации и восстановления непрерывных изображений применительно к идеальным и реальным системам.

Подпись:  
Рис. 4.4. Набор дельта-функций, 
осуществляющих дискретизацию 
изображений
При разработке и анализе систем дискретизации и восстановления непрерывных изображений обрабатываемые изображения обычно принято рассматривать как детерминированные поля. Однако в некоторых случаях удобнее предполагать, что входной сигнал системы обработки изображений (особенно шумового происхождения) является реализацией двумерного случайного процесса. При анализе методов дискретизации и восстановления непрерывных изображений используются оба этих подхода.

Пусть функция  описывает исходное непрерывное изображение бесконечных размеров, представляя распределение яркости, оптической плотности или какого-либо другого параметра реального изображения. В идеальной системе дискретизации изображений пространственные отсчеты исходного изображения получаются фактически путем перемножения этой функции с пространственно-дискретизирующей функцией:

,

(4.67)

состоящей из бесконечного числа дельта-функций, заданных в узлах решетки с шагом  (рис. 4.4).

Тогда дискретизированное изображение описывается соотношением:

,          (4.68)

в котором учитывается, что функцию  можно внести под знак суммирования и задать ее значения только в точках отсчета .

Для анализа процесса дискретизации удобно использовать спектр  получаемый в результате непрерывного двумерного преобразования Фурье дискретизированного изображения:

.                          (4.69)

Согласно теореме о спектре свертки спектр дискретизированного изображения можно представить в виде свертки спектра исходного изображения и спектра дискретизирующей функции , т.е.

.                              (4.70)

Двумерное преобразование Фурье дискретизирующей функции дает в результате бесконечный набор дельта-функций в плоскости пространственных частот с шагом  и , т.е.

.                   (4.71)

Будем предполагать, что спектр исходного изображения ограничен по ширине так, что  при  и . Вычисляя свертку согласно р