Обратное преобразование Фурье

Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.

Положим вновь, что непериодический сигнал получается из периодической последовательности, когда ее период устремляется к бесконечности. Воспользовавшись формулами (2.13) и (2.14), запишем:

.

Входящий сюда коэффициент 1/T пропорционален разности между частотами соседних гармоник:  , при любом целом n. Таким образом:

.

Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом.

.                                          (2.18)

Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t). Сформулируем окончательный результат: сигнал s(t) и его спектральная плотность S(w) взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:

                                         (2.19)

Один и тот же сигнал допускает две совершенно равноправные математические модели – функцию во временной области и функцию в частотной области.

Метод спектральных разложений очень полезен, часто математическая модель сигнала, представленная функцией s(t), т.е. во временной области, сложна и недостаточно наглядна. В то же время описание этого сигнала в частотной области посредством функции S(w) может оказаться простым.

Спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем.