Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами:
(2.2)
Любая функция um из базиса (2.2) удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s(t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты
, (2.3)
получим спектральное разложение
, (2.4)
справедливое на всей бесконечности оси времени.
Следует обратить внимание на то, что энергия периодического сигнала неограниченно велика. Поэтому необходимо говорить о мощности сигнала – энергии в единицу времени.
Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье данного сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала.
(2.5)
с коэффициентами:
(2.6)
Из формул для коэффициентов ряда Фурье следует, что четный сигнал имеет только косинусоидальные, а нечетный – только синусоидальные слагаемые.
В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами wn = nw1 (n = 1, 2, 3…), кратными основной частоте последовательности.
Каждую гармонику можно описать ее амплитудой An и начальной фазой jn . Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде:
,
так что
.
Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:
. (2.7)