Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис. 3.28).
Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот 
, относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот 
цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству:
, (3.47)
при сохранении общего вида АЧХ.
Пусть 
– передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты p. Если воспользоваться связью между переменными z и p: 
, то можно записать:
. (3.48)
Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка выражения (3.48) в выражение приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (3.48), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости p.
Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида:
, (3.49)
устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в p-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем.
Пусть в выражении (3.49) выполнена замена переменной 
. Тогда
,
откуда вытекает соотношение между частотными переменными 
и 
аналоговой и цифровой систем:
. (3.50)
Если частота дискретизации достаточно велика 
, то, как легко видеть из формулы (3.50), 
. Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают.
В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (3.50). Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции 
аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (3.49). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.
Пример
Спроектировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттерворта. Частота среза для ЦФ 
. Частота дискретизации 
.
Прежде всего, определим шаг дискретизации:
.
По формуле (3.50) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:
;
.
Как известно, передаточная функция аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттерворта, рассматриваемая относите
льно нормированной комплексной частоты 
имеет вид:
, (3.51)
или при переходе к истинной комплексной частоте
. (3.52)
Выполнив в уравнении (3.52) замену переменной вида (3.49), находим системную функцию ЦФ:
.
Подставив в эту формулу числовые значения, получим следующий результат:
.
