1.6. Расчет переходных процессов в цепях первого порядка классическим методом

Если в цепи содержится только один реактивный элемент, то ее называют цепью первого порядка.

Рассмотрим задачу анализа на примере (рис. 1.12). Найдем все токи.

Необходимо определить начальные условия при t = 0_—.

Схема (рис. 1.12) при этом примет вид (рис. 1.13). Ток можно определить по второму закону Кирхгофа:

.

По закону коммутации:

.

При формируется схема (рис. 1.14), или после преобразований (рис. 1.15), для которой можно составить уравнения по законам Кирхгофа:

Приведем систему уравнений к одному дифференциальному уравнению первого порядка относительно тока :

;

;

.

Решение будем искать в виде:

.

При t = 0₊

.

Корень характеристического уравнения:

;

ток:

,

тогда

i₁₂ (t) = i_L (t)+ i₃ (t).

Эту же задачу решим, не составляя дифференциальных уравнений и не решая их.

1. Начальные условия:

.

Для остальных токов (рис. 1.16) при

Решая эту систему алгебраических уравнений, можно найти начальные условия для всех величин (читатель может сделать это самостоятельно)

2. При исходная схема (см. рис 1.12) примет вид (рис.1.17), тогда конечные значения токов равны:

.

3.

Определим корень характеристического уравнения (р). Для этого воспользуемся искусственным приемом, который заключается в следующем: реактивный элемент L в электрической цепи заменяем фиктивной комплексной индуктивностью: , а заменяем на р, тогда ; источники исключаем.

В результате, для рассматриваемой цепи получаем схему (рис. 1.18). Определяем эквивалентное сопротивление полученной схемы, разорвав ее в любом месте. Здесь удобно разорвать ветвь с индуктивностью (рис. 1.19). Определим комплексное сопротивление этой разорванной цепи с учетом замен.

Сопротивления , и соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление равно:

,

тогда

.

После преобразований получим схему (рис. 1.20).

При условии равенства нулю эквивалентного сопротивления определяем р:

;

.

Сравнивая полученный результат с результатом расчета по дифференциальным уравнениям, убеждаемся в том, что они одинаковы:

.

Осталось найти решение:

.

Другие токи:

;

.

Корень характеристического уравнения р – во всех решениях один и тот же.

Постоянные интегрирования А,В и С находятся при t = 0₊