Рассмотрим переходный процесс в цепи второго порядка на примере простейшей цепи (рис.1.21).
Если цепь содержит хотя бы один емкостный элемент, то составленные дифференциальные уравнения решаются относительно напряжения на этом элементе.
Начальные условия нулевые: 
, 
.
Принужденные составляющие: ucпр = U0 , iпр = 0.
Уравнение переходного процесса с учетом того, что 
имеет вид:
;
.
Видим, что составленное дифференциальное уравнение второго порядка.
Его характеристическое уравнение:
,
или
.
Тогда корни характеристического уравнения равны:
.
Но можно дифференциальное уравнение и не составлять, а воспользоваться тем же приемом, что и для цепей первого порядка, то есть воспользоваться условием:
Z(p) = 0:
или после преобразований:
.
Откуда видно, что характеристическое уравнение, полученное из условия Z(p) = 0, имеет тот же вид, что и характеристическое уравнение, полученное из дифференциального.
Дальнейшее решение можно проделать по одному из трех вариантов.
1)
Если обозначить 
= 
, то при D > 0:
,
где 
и р2 – действительные числа и они меньше нуля.
Тогда решение для напряжения находят в виде:
.
В этом решении две неизвестные постоянные интегрирования А1 и А2, поэтому нужно вспомогательное уравнение для определения 
и 
. Пусть это будет ток:
.
При 
решения для тока и напряжения примут вид:
Из второго уравнения получаем:
.
Подставим найденное значение А1 в первое уравнение, получим:
,
отсюда
или 
.
Тогда:
.
Напряжение на индуктивности можно найти по формуле:
.
Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D > 0 приведены временные графики: uc(t) – на рис. 1.22, i(t) – на рис. 1.23, uL(t) – на рис. 1.24.
2) Если D < 0, то 
. Тогда корни характеристического уравнения и 
будут комплексные. Представим их в виде:
,
где 
, 
.
В этом случае решение следует искать в виде:
;
.
Из начальных условий, при определяем А и 
. Для этого составляем и решаем уравнения:
Покажем, что здесь также можно использовать решение из первого случая:
.
Рассмотрим только свободную составляющую:
= 
,
где 
.
Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D < 0 временные графики приведены: uc(t) – на рис. 1.25, i(t) – на рис. 1.26, uL(t) – на рис. 1.27.
3) Если D = 0, то 
, и корни будут одинаковыми:
.
Решение следует искать в виде:
;
Из начальных условий, при определяем А1 и А2:
Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D = 0
временные графики приведены: uc(t) на – рис. 1.28, i(t) – на рис. 1.29, uL(t) – на рис. 1.30.
