1.7. Включение RLC-цепи на постоянное напряжение

Рассмотрим переходный процесс в цепи второго порядка на примере простейшей цепи (рис.1.21).

Если цепь содержит хотя бы один емкостный элемент, то составленные дифференциальные уравнения решаются относительно напряжения на этом элементе.

Начальные условия нулевые: , .

Принужденные составляющие: ucпр = U0 , iпр = 0.

Уравнение переходного процесса с учетом того, что имеет вид:

;

.

Видим, что составленное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его характеристическое уравнение:

,

или

.

Тогда корни характеристического уравнения равны:

.

Но можно дифференциальное уравнение и не составлять, а воспользоваться тем же приемом, что и для цепей первого порядка, то есть воспользоваться условием:

Z(p) = 0:

или после преобразований:

.

Откуда видно, что характеристическое уравнение, полученное из условия Z(p) = 0, имеет тот же вид, что и характеристическое уравнение, полученное из дифференциального.

Дальнейшее решение можно проделать по одному из трех вариантов.

1)

Если обозначить = , то при D > 0:

,

где и р2 – действительные числа и они меньше нуля.

Тогда решение для напряжения находят в виде:

.

В этом решении две неизвестные постоянные интегрирования А1 и А2, поэтому нужно вспомогательное уравнение для определения и . Пусть это будет ток:

.

При решения для тока и напряжения примут вид:

Из второго уравнения получаем:

.

Подставим найденное значение А1 в первое уравнение, получим:

,

отсюда

или .

Тогда:

.

Напряжение на индуктивности можно найти по формуле:

.

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D > 0 приведены временные графики: uc(t) – на рис. 1.22, i(t) – на рис. 1.23, uL(t) – на рис. 1.24.

2) Если D < 0, то . Тогда корни характеристического уравнения и будут комплексные. Представим их в виде:

,

где , .

В этом случае решение следует искать в виде:

;

.

Из начальных условий, при определяем А и . Для этого составляем и решаем уравнения:

Покажем, что здесь также можно использовать решение из первого случая:

.

Рассмотрим только свободную составляющую:

=

,

где .

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D < 0 временные графики приведены: uc(t) – на рис. 1.25, i(t) – на рис. 1.26, uL(t) – на рис. 1.27.

3) Если D = 0, то , и корни будут одинаковыми:

.

Решение следует искать в виде:

;

Из начальных условий, при определяем А1 и А2:

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D = 0

временные графики приведены: uc(t) на – рис. 1.28, i(t) – на рис. 1.29, uL(t) – на рис. 1.30.

Adblock
detector