Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора р,
, (6.1)
то должны выполняться следующие пять условий:
1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 вытекает из условия 3);
2) наивысшая степень полинома числителя (п) не может отличаться от наивысшей степени полинома знаменателя (т) более чем на 1. То же и в отношении минимальных степеней числителя и знаменателя;
3) если условиться значения р, при которых Z(p) = 0, называть нулями функции Z(p), а значения р, при которых Z(p) = 
, называть полюсами Z(p), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р;
4) нули, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные;
5) если вместо р в выражение Z(p) подставить 
, то при любом значении 
должно быть Re Z(
) 
0.
Поясним эти требования. Известно, что свободные процессы описываются слагаемыми вида 
и обязательно должны затухать во времени; pk – корни уравнения Z(p) = 0. Но затухать свободные процессы (слагаемые вида 
) могут только в том случае, если действительная часть pk, отрицательна. Отсюда следует, что нули уравнения Z(р) = 0 должны обязательно находиться в левой части плоскости р.
Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника:
Y(р) = Z(p)/k,
где k – некоторый коэффициент, имеющий размерность Ом2, то входное сопротивление дуального двухполюсника равно k/Z(р).
Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исходного, также должны быть расположены в левой части плоскости р.
Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения
N(р) = 0,
то соответствующие им слагаемые в решении берутся в виде:
.
Если допустить, что на мнимой оси могут быть два кратных корня 
,
то соответствующая им свободная составляющая нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может.
Все коэффициенты a и b в числителе и знаменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это условие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из теоремы Гурвица, среди корней уравнения Z(p) = 0 появились бы корни с положительной действительной частью.
Входное сопротивление или входная проводимость лестничной (цепной) схемы (рис. 6.1) в которой продольные сопротивления названы Z1, Z3, Z5, … и поперечные проводимости -Y2, Y4, Y6, …,
могут быть представлены непрерывной дробью.
Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки. Найдем входную проводимость правой части схемы по отношению к зажимам m – n. Она равна:
.
Суммарная проводимость правой части схемы по отношению к зажимам m – n c учетом ветви с проводимостью Y4 равна:
.
Входное сопротивление по отношению к тем же зажимам:
Далее определим входное сопротивление всей схемы:
(6.2)
Таким образом, возникает задача о переходе от выражения (6.1) к выражению (6.2), т.е. задача о последовательном упорядоченном определении элементов лестничной схемы (Z1, Z3, …; Y2, Y4, Y6, …) по выражению (6.1). С этой целью:
1) располагаем полиномы N(р) и М(р) либо по убывающим, либо по возрастающим степеням р;
2) делим многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и чтобы они не содержали р в степени больше 1;
3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходимость перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к расположению их по возрастающим степеням, то эта операция вполне допустима.
При делении полинома N на полином М будет получено частное Z1 и остаток O1/M:
При делении O1/M, будет получено частное Y2 и остаток:
,
но
,
поэтому
.
На основании изложенного процесс последовательного определения элементов цепи (см. рис. 6.1) можно представить следующим алгоритмом:
| N
MZ1 |
| M
| Z1 |
||||
| M | |O1 | ||||
| O1Y2 | |Y2 | ||||
|
O1 |
| O2 |
||||
| O2Z3 |
| Z3 |
||||
|
O2 |
| O3 |
||||
| O3Y4 |
| Y4 |
||||
|
O3| |
O4 |
||||
|
Z5O4| |
Z5 |
В заключение отметим, что могут встретиться такие сопротивления Z(p), которые невозможно представить лестничной схемой.
В этом случае применяют второй способ реализации (метод Фостера). Этот способ применяют не только в случае невозможности представления Z(p) лестничной схемой.
Если и он окажется неприменимым (например, при комплексных нулях и полюсах), то следует воспользоваться методом Бруне.