6.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников

Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора р,

, (6.1)

то должны выполняться следующие пять условий:

1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 выте­кает из условия 3);

2) наивысшая степень полинома числителя (п) не может отличаться от наивысшей степени полинома знаменателя (т) более чем на 1. То же и в отношении минимальных степеней числителя и знаменателя;

3) если условиться значения р, при которых Z(p) = 0, называть нулями функции Z(p), а значения р, при которых Z(p) = , назы­вать полюсами Z(p), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р;

4) нули, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные;

5) если вместо р в выражение Z(p) подставить , то при любом значении должно быть Re Z() 0.

Поясним эти требования. Известно, что свободные про­цессы описываются слагаемыми вида и обязательно должны затухать во времени; p_k – корни уравнения Z(p) = 0. Но затухать свободные процессы (слагаемые вида ) могут только в том слу­чае, если действительная часть p_k, отрицательна. Отсюда следует, что нули уравнения Z(р) = 0 должны обязательно находиться в левой части плоскости р.

Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника:

Y(р) = Z(p)/k,

где k – некоторый коэффициент, имеющий размерность Ом², то входное сопротивление дуального двухполюсника равно k/Z(р).

Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исход­ного, также должны быть расположены в левой части плоскости р.

Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения

N(р) = 0,

то соответствующие им слагаемые в ре­шении берутся в виде:

.

Если допустить, что на мнимой оси могут быть два кратных корня ,

то соответствующая им свободная составляющая нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может.

Все коэффициенты a и b в числителе и знаменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это усло­вие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из теоремы Гурвица, среди корней уравнения Z(p) = 0 появились бы корни с положительной действительной частью.

Входное сопротивление или входная проводимость лестничной (цеп­ной) схемы (рис. 6.1) в которой продольные сопротивления названы Z₁, Z₃, Z₅, … и поперечные проводимости -Y₂, Y₄, Y₆, …,

могут быть представлены непрерывной дробью.

Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки. Найдем входную проводимость правой части схемы по отношению к зажимам m – n. Она равна:

.

Суммарная проводимость правой части схемы по отношению к зажимам m – n c учетом ветви с проводи­мостью Y₄ равна:

.

Входное сопротивление по отношению к тем же зажимам:

Далее определим входное сопротивление всей схемы:

(6.2)

Таким образом, возникает задача о переходе от выражения (6.1) к выражению (6.2), т.е. задача о последовательном упорядоченном определении элементов лест­ничной схемы (Z₁, Z₃, …; Y₂, Y₄, Y₆, …) по выражению (6.1). С этой целью:

1) располагаем полиномы N(р) и М(р) либо по убывающим, либо по возрастающим степеням р;

2) делим многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и чтобы они не содержали р в степени больше 1;

3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходимость перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к рас­положению их по возрастающим степеням, то эта операция вполне допустима.

При делении полинома N на полином М будет получено частное Z₁ и остаток O₁/M:

При делении O₁/M, будет получено частное Y₂ и остаток:

,

но

,

поэтому

.

На основании изложенного процесс последовательного определения элементов цепи (см. рис. 6.1) можно представить следующим алгоритмом:

В заключение отметим, что могут встретиться такие сопротивления Z(p), кото­рые невозможно представить лестничной схемой.

В этом случае при­меняют второй способ реализации (метод Фостера). Этот спо­соб применяют не только в случае невозможности представления Z(p) лестничной схемой.

Если и он окажется неприменимым (например, при комплексных нулях и полюсах), то следует воспользоваться методом Бруне.