5.8. Определение напряжения и тока в линии без потерь

Строго говоря, линии без потерь не суще­ствует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми R₀ и G₀ по сравнению с wL₀ и wС₀ соответственно) и распространить на нее теорию линий без потерь.

Известно, что если R₀ = G₀ = 0, то

,

т.е.

коэффициент затухания a = 0, а коэффициент фазы .

При этом волновое сопротивление Z_в=является чисто активным.

Для определения напряжения и тока в любой точке линии обратимся к формулам

(5.26) и (5.27):

;

.

Учтем, что gy = (a + jb) y = (0 + jb) у = jby.

Гиперболический косинус от мнимого аргумента jx равен круговому косинусу от аргумента х:

ch jx = 0,5 (е^jx + е^—jx)

= 0,5 (cos х + jsin х + cos х – j sin х) = cos х, следовательно,

ch gy = ch jby = cos by.

Гиперболический синус от аргумента jx равен круговому синусу от аргумента х, умноженному на j:

sh jx = 0,5 (е^jx + е^—jx) = 0,5 (cos х + jsin х – cos х – jsinх) = jsinх,

Следовательно, sh ух = sh jby = j sin by.

Поэтому для линии без потерь формулы (5.26) и (5.27) пере­пишем следующим образом:

;

(5.42)

.

(5.43)

Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе

При холостом ходе I₂= 0.

Поэтому входное сопротивление с учетом формул (5.42) и (5.43) равно:

.

(5.44)

Исследуем характер изменения при изменении расстояния у от конца линии до текущей точки на ней.

В интервале значений by от 0 до p /2 tgby изменяется от 0 до , поэтому , имеет емкостный характер (множитель -j) и по модулю изменяется от до 0 (рис. 5.7, а). На рис. 5.7, а расположение кривой выше оси абсцисс соответ­ствует индуктивному характеру реак­тивного сопротивления линии х, ни­же оси – емкостному.

В интервале значений by от p/2 до p tgby отрицателен и изменяется от – до 0, поэтому изменяется по модулю от 0 до и имеет индук­тивный характер (множитель +j) и т.д.

Таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктив­ное сопротивления любой величины. Практически это свойство ис­пользуют при высокой частоте в различных радиотехнических уста­новках.

Входное сопротивление линии без потерь при коротком замыкании на конце линии

При коротком замыкании на конце линии U₂ = 0, и из формул (5.42) и (5.43) следует, что входное сопротивление равно:

(5.45)

где .

Будем менять длину отрезка линии у и исследуем характер изме­нения входного сопротивления.

В интервале значений by от 0 до p /2 tgby положителен и изме­няется от 0 до , следовательно, в этом интервале входное сопротив­ление (5.45) имеет индуктивный характер и по модулю изменяется от 0 до (рис. 5.7, б).

В интервале by от p/2 до p tgby входное сопротивление (5.45) имеет емкостный характер и изменяется по модулю от до 0 (в точке by = p /2 tgby, скачком изменяется от + до —).

Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой на конце линии, также можно создавать различные по величине индуктивные и емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой на конце линии без потерь длиной в четверть длины волны теоретически имеет входное сопротивление, равное бесконечности. Это позволяет применять его при подвеске проводов в качестве изолятора.