Два сигнала u и v называются ортогональными (рис. 1.13), если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:
. (1.25)
Пусть H – гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени [t1, t2], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций {u0, u1, …, un, …}, ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами
(1.26)
Рис. 1.13. Примеры ортогональных сигналов
В этом случае в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.
Разложим произвольный сигнал s(t)ÎH в ряд:
, (1.27)
данное выражение называется обобщённым рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе.
Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию uk с произвольным номером k, умножим на неё обе части равенства (1.27) и затем проинтегрируем результаты по времени:
. (1.28)
Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером i = k, поэтому
. (1.29)
На геометрическом языке интерпретация формулы (1.29) такова (рис. 1.14): коэффициент обобщённого ряда Фурье есть проекция вектора на базисное направление.
Возможность представления сигналов посредством обобщённых рядов Фурье даёт возможность характеризовать эти сигналы счётной (бесконечной) системой коэффициентов обобщённого ряда Фурье Ck.