Основы теории сигналов

Ортогональные сигналы и обобщённые ряды Фурье

Два сигнала u и v называются ортогональными (рис. 1.13), если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

.                                            (1.25)

Пусть H – гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени [t1, t2], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций {u0, u1, …, un, …}, ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами

                                                  (1.26)

Рис. 1.13. Примеры ортогональных сигналов

В этом случае в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал s(t)ÎH в ряд:

,                                                (1.27)

данное выражение называется обобщённым рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном   базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию uk с произвольным номером k, умножим на неё обе части равенства (1.27) и затем проинтегрируем результаты по времени:

.                                   (1.28)

 

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером i = k, поэтому

.             (1.29)

На геометрическом языке интерпретация формулы (1.29) такова (рис. 1.14): коэффициент обобщённого ряда Фурье есть проекция вектора на базисное направление.

Возможность представления сигналов посредством обобщённых рядов Фурье даёт возможность характеризовать эти сигналы счётной (бесконечной) системой коэффициентов обобщённого ряда Фурье Ck.

Adblock
detector