3.6.6.    Метод инвариантных импульсных характеристик

В основе этого простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа. Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при , получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

.                                           (3.35)

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

В общем случае синтез структуры фильтра осуществляется путем применения z-преобразования к последовательности вида (3.35). Найдя системную функцию  фильтра, следует сравнить ее с общим выражением (3.20) и определить коэффициенты трансверсальной и рекурсивной частей.

Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации (D). При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции  замену переменной по формуле , и затем сравнить результирующую функцию с функцией частотного коэффициента передачи аналоговой цепи.

Пример 1

Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида:

                                           (3.36)

Амплитудный множитель в импульсной характеристике примем равным единице. Пусть импульсная характеристика аппроксимируется последовательно тремя равноотстоящими отсчетами:

.                                                  (3.37)

Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением:

.                                       (3.38)

Применив z-преобразование к последовательности (3.37), находим системную функцию ЦФ:

.                                        (3.39)

Откуда частотный коэффициент передачи равен:

.                                 (3.40)

Пример 2

Рассмотрим случай, когда импульсная характеристика (3.36) аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью:

.                                              (3.41)

Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (3.40) получим системную функцию:

.                       (3.42)

Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки. Частотный коэффициент передачи фильтра равен:

.                                               (3.43)