Формула обращения

Заключительным этапом решения задачи о прохождении сигнала через линейную стационарную систему с помощью операторного метода является поиск оригинала, которому отвечает изображение Uвых(р) = К(р)Uвх(р).

Рассмотрим частный случай, когда функция Uвых(р) представляет собой отношение двух многочленов по степеням комплексной частоты:

,

причём будем считать, что степень числителя m не превосходит степени знаменателя n и, кроме того, корни знаменателя pi, i = 1, 2, … , n – простые.

Способ нахождения оригинала, отвечающего такому изображению, основывается на представлении функции Uвых(р) в виде суммы элементарных дробей:

.

Коэффициенты Сi являются вычетами функции Uвых(р) в точках полюсов, поэтому

.

Как известно, изображению 1/(р-pi) соответствует оригинал exp(pit). Таким образом, приходим к известной формуле обращения:

.                                        (4.61)