Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала

Введем новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору s(t) L однозназначно сопоставлено число ïïsïï- норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:

1) Норма неотрицательна, т.е. ïïsïï 0. Норма ïïsïï = 0 тогда и только тогда, если s = .

2) Для любого числа справедливо равенство ïïsïï = ïï ïïsïï.

3) Если s(t) и p(t) – два вектора из L, то выполняется неравенство треугольника: ïïs+pïï ïïsïï+ïïpïï.

В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму

.                                                   (1.15)

Для комплексных сигналов норма

где s*(t) – комплексно-сопряженная величина.

Квадрат нормы носит название энергии сигнала.

.                                              (1.16)

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение s(t).

Рис. 1.11. Пример двух сигналов с одинаковой нормой

Определять норму сигнала с помощью формулы (1.15) целесообразно по следующим причинам:

1) В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе.

2) Энергетическая норма оказывается "нечувствительной" к изменениям формы сигнала, даже к значительным, но происходящим на коротких отрезках времени     (рис. 1.11).

Энергии этих сигналов отличаются незначительно. Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1.15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается L2.