Обобщённая формула Рэлея

Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов. Пусть два сигнала u(t) и v(t), в общем случае комплекснозначные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

,

.

Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например v(t), через его спектральную плотность:

Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плотность U(w) сигнала u(t). Поэтому

.                            (2.42)

Полученное соотношение представляет собой обобщённую формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. В математике обобщённую формулу Рэлея называют также равенством Парсеваля, или теоремой Планшереля.